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恭喜壬遁先生。

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祖冲之圆周率
作者：教案 转贴自：教案 点击数：2024

祖冲之的祖籍虽然在河北，但他自己却是生长于南北朝时期南朝的政治、经济中心建康(今南京)．自东晋南迁以来，江南地区的经济得到迅速发展．水利和农业技术得到了改良，牛耕在南方普及，人口显著增加，纺织、冶炼、陶瓷、造船等手工业技术也有明显的发展，出现了一些繁荣的城市，建康就是其中较为突出的一个．
　　祖冲之出生在一个官宦人家．他的曾祖父祖台之，在东晋时，曾官至侍中、光禄大夫．祖父祖昌、父亲祖朔之都曾在南朝做官，祖父是管理建筑工程的宫员——大匠卿，父亲曾任奉朝请．这个家庭的历代成员，大都对天文历法有些研究．
　　从青年时起，祖冲之便对天文学和数学发生了浓厚兴趣．为了反驳别人责骂他不学无术，他曾在著作中自述说，从很小的时候起便“专功数术，搜烁古今”．他把从上古时起直至6世纪他生活的时代止的各种文献、记录、资料，几乎全都搜罗来进行考察．同时，他又主张决不“虚推古人”，决不把自己束缚在古人陈腐的错误结论之中，并且亲自进行精密的测量和仔细的推算．像他自己所说的那样，每每“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”．祖冲之批判地接受前一代的学术遗产．利用并尊重其中一切正确有用的东西，再经过辛勤的实际工作，进行考核，敢于怀疑古人错误陈旧的结论，并勇于提出自己的新见解，这正是古往今来一切杰出科学家的共同品质．
　　还是在青年时代，他便对刘歆、张衡、郑玄、阚泽、王蕃、刘徽等人的工作进行了仔细的研究，一一驳正了他们的错误并且导出了许多极有价值的结果．在这些成果中，准确到7位有效数字的圆周率数值，便是人所共知的例子．
　　他坚持这种严谨的治学态度，对过去科学家们的工作反复进行考核，就是对他的前辈著名天文学家何承天，也是如此．经过实际观测。他指出何承天所编制的为当时的刘宋王朝所奉行的元嘉历，有不少错误．祖冲之指出，元嘉历所推算的冬至时太阳所在宿度距实测已差3度，冬至、夏至时刻已差1天，五星的出没时间差40天．于是，他着手编制了新的历法——大明历，对历法的编制做出了很多创造性的贡献．大明历是这个时代的一部最好的历法．
　　大明六年(公元462年)，他上表给刘宋王朝的皇帝刘骏，请对新的历法进行讨论，予以颁行．这一年，祖冲之只有33岁．虽然他还很年轻，但事实上他已经攀登上了他生活时代的科学高峰．
　　但是新的历法却遭到皇帝宠幸的戴法兴的反对．朝中百官惧于戴的势力，多所附和．祖冲之则勇敢地进行了辩论，写出了一篇非常著名的“驳议”呈送给皇帝．这篇理直气壮、词句铿锵的论文，充分显示了祖冲之横生洋溢的才华和敢于坚持真理的高贵品质．在“驳议”中，他写下了两句名言：“愿闻显据，以核理实”，“浮辞虚贬，窃非所惧”．为了明辨是非，他愿意彼此拿出明显的证据来相互讨论，至于那些捕风捉影无根据的贬斥，他丝毫也不惧怕．这场辩论反映了进步与保守、科学和反科学两种势力的斗争．见解保守的戴法兴认为，历法中的传统持续下来的方法是“古人制章”、“万世不易”的；他责骂祖冲之是什么“诬天背经”，认为天文和历法是“非凡夫所测”、“非冲之浅虑，妄可穿凿”的．祖冲之却大不以为然．他反驳说，不应该“信古而疑今”，假如“古法虽疏，永当循用”，那还成什么道理！日月五星的运行“非出神怪，有形可检，有数可推”，只要进行精密的观测和研究，孟子所说的“千岁之日至(指冬至、夏至)可坐而致也”，是完全可以做得到的．
　　科学的每一个进步，经常要和保守的势力进行不调和的斗争，有时这种斗争会是很尖锐的．在这里，祖冲之为我们树立了光辉的榜样．
　　由于种种阻碍，大明历直到公元510年，经过刘宋王朝和肖齐王朝，直到梁王朝天监九年，由于祖冲之的儿子祖暅的坚决请求，经过实际天象的校验，才得以正式颁行．但是这已经是祖冲之死后10年的事了．
　　从刘宋时代起，祖冲之就开始在朝廷里当品位不算高的小官．他历任南徐州(今江苏镇江)从事史，公府参军等职，还做过娄县(今江苏昆山)县令，也做过谒者仆射等官．到了肖齐王朝，祖冲之曾官至长水校尉，这是他一生官阶最高(四品)的官职．这时他写了“安边论”等讨论屯田、农殖等方面应采取的政策的政论性文章．齐明帝(公元494—498年在位)想令他“巡行四方，兴造大业，可以利百姓者”，后因发生战争面作罢．这时，祖冲之已是风烛残年，老死将至了．
　　特别值得注意的是，自从大明历因受到皇帝宠幸人物的反对而未及时颁行受挫之后，在祖冲之的工作中，像在大明历编制过程中所表现出的那种气魄便不多见了．他好像是生长在养分不足的土壤里，这样的土壤，人们是不可能期望获得一次比一次更加丰硕的成果的．历史产生了如此的天才，但从另一个意义上又扼杀了如此的天才，这难道不正是在中国漫长的封建社会中，无数杰出人物的共同命运吗？
　　祖冲之生平著作很多，内容也是多方面的．如上所述，在天文历法方面有大明历(附“上《大明历》表”、“驳议”，均载《宋书·历志》)．他在数学方面的论著，不幸均已失传．《南齐书·祖冲之传》中说他曾“注《九章》，造缀术数十篇”．在历代国内外的各种图书目录中可以见到他所写的数学著作的书名有：《缀术》(或题为其子祖暅所撰，或未具名)6卷、《九章术义注》9卷、《重差注》1卷．在古代典籍的注释方面，祖冲之有《易义》、《老子义》、《庄子义》、《释论语》、《释孝经》等著作，但亦均失传．文学作品方面，他曾著有《述异记》10卷(此书已佚，但在《太平御览》等书中可以看到其中片断)．
　　《隋书·经籍志》中列有《长水校尉祖冲之集》51卷，这可能是他全部著作或是部分著作的汇集，可借也早已失传了，现仅可知其中收有“上《大明历》表”、“驳议”、“安边论”等等．
　　祖冲之在数学方面的成就，首先应该叙述的乃是关于圆周率的计算．
　　在中国古代，也和世界上任何文化开发较早的国家和地区一样，最早被人们使用的圆周率是3．这一误差很大的数值，在中国一直被沿用到汉代．入汉以后，对圆周率的改进吸引了不少科学家的注意，例如刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗等人都进行了研究．在许多人的工作中，生活于魏晋之际的数学家刘徽的研究最为重要．假如把刘徽称为是祖冲之的先行者，那他确实是当之无愧的．
　　刘徽在计算圆面积的过程中，实际上也计算了圆周率．刘徽从圆的内接正6边形起算，依次将边数 加倍，分别求出内接正12，24，48，……等内接正多边形的一边之长，从而算出内接正24，48，96，……等正多边形的面积．边数增加的越多，内接正多边形面积与其外接圆面积之差愈小，算得的圆面积也就愈准确，求得的圆周率也就更加精密．边数增加愈多，像是把圆愈割愈细，因此刘徽的这种方法称为“割圆术”(载于现有传本的刘徽注《九章算术》之中)．刘徽用这种方法求得圆周率

　　关于祖冲之在圆周率方面的工作，其史料仅见于《隋书·律历志》，但记载过于简略，下面就是此段记载的原文：
　　“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛．自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒各设新率，未臻折衷．宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二数之间．密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五．约率：圆径七，圆周二十二．”
　　这段记载说明：
　　(1)祖冲之的圆周率方面的工作，是在刘歆、张衡、刘徽等人工作之上“更开密法”的．
　　(2)他以1亿为1丈，即由108——九位数字开始进行计算．
　　(3)他算得过剩近似值和不足近似值，同时指出真值在过剩、不足二近似值之间，相当于算得了
3.1415926＜π＜3.1415927．
　　圆周率的这一数值作到了小数点后7位数字准确．
　　(4)他还给出了两个近似分数值，即
　　　　关于祖冲之如何算得如此精密结果，关于他所使用的方法，则没有任何史料流传下来，这是非常遗憾的．不过，根据当时的情况来进行判断，除开继续使用刘徽“割圆术”之外，并不存在有其他方法的任何可能性．清代的数学史家大都认为“厥后祖冲之更开密法，仍割之又割耳，未能于徽法之外别有新法也”(阮元《畴人传·祖冲之传》)，梅文鼎的著作以及《数理精蕴》等书，也都持这种观点．实际上，如按刘徽方法“割之又割”，继续算至圆内接正12288边形和正24576边形，得出
　　内接正12288边形面积：S12288=3.14159251方丈，
　　内接正24576边形面积：S24576=3.14159261方丈．
　　又据刘徽割圆术可得下列不等式(式中S表示圆面积)：
S24576＜S＜S24576+(S24576-S12288)，
　　即可得出
3.14159261＜π＜3.14159271，
　　而这正是《隋书·律历志》所给出的盈朒二限．
　　把1丈化为1亿，从圆的内接正6边形算至正24576边形(=6×212边形)，需要把同一个计算程序反复12次，而每个计算程序又包括加、减、乘、除、开方等10余个步骤．因此，祖冲之为了求得自己的结果，就要从100000000(9位数字)算起，反复进行加、减、乘、除、开方等运算130次以上．既使是今天，用纸和笔进行这样的计算，也绝不是一件轻松的事，更何况中国古代的计算都是用罗列算筹来进行的．可以想象，这在当时是需要何等的精心和超人的毅力．
　　由于在中国古代有利用分数进行计算的习惯，祖冲之还给出了密率

　　一个无理数可以用连分数形式来进行表示，例如圆周率即可表示成连分数：
　

292，……]，依次截取、计算即可得出一串关于π的数值，例如
　　
　　……　

大于Q的分数中与π最接近的分数值)．但是反过来说，最佳渐近分

最与π接近．
　　但直到目前为止，我们还没有发现任何证据足以说明中国古代已有连分数的应用．
　　在中国古代的天文历法的计算中，曾有过一种逐渐调整分母和分子数值以求得使分数值更加接近真值的方法，叫作“调日法”．宋代的学者认为“调日法”始自南北朝时期稍早于祖冲之的何承天．“调日法”

(祖冲之约率)即可算得
“密率”．
　　在西方，直到1573年，德国数学家V．奥托(Otho，1550？—

这一数值是荷兰工程师A．安托尼兹(Anthonisz，1527—1607)得到

字，但使用起来是方便的．
　　关于球体体积的计算，乃是祖冲之在数学方面的又一项成就．祖冲之在批驳戴法兴的“驳议”中说：“至若立圆(球体)旧误，张衡述而弗改，……此则算氏之剧疵也……臣昔以暇日，撰正众谬”，可见这也是祖冲之早年的工作．然而在7世纪，在唐代李淳风为《九章算术》所写的注文中，却把它作为“祖暅开立圆术”加以引述，因而也可以认为这是一项祖氏父子共同的研究结果．在中国古代，例如在《九章算术》中，是按外切圆柱体与球体体积之比等于正方形与其内切圆面积之比来进行球体体积计算的．刘徽指出了这一错误并正确地提出“牟合方盖”(垂直相交的二圆住体的共同部分)与其内切球体体积之比，方才等于正方形与其内切圆面积之比．但是他却未能求出“牟合方盖”的体积．这一问题被祖氏父子解决了．祖氏父子的方法是：
　　首先取一立方体(高=半径r)，以左下角为心，r为半径，分纵横二次各截立方体为圆柱体(如图1)．如此，立方体将被分成四部分：两个圆柱体的共同部分(即“牟合方盖”的1/8，祖氏父子称之为“内棋”，如图2)，以及其余的三部分(“外三棋”，如图3，4，5)．
　　其次为算出“内棋”体积，他们先算出“外三棋”体积．方法是：将内、外棋再合成一个立方，在高为h处作一平行于底的平面(如图6)．如设“外三棋”的横截面面积为S，则
S= r2-(r2-h2)=h2．
　　再取一个高与底方每边长度均为r的方锥，倒立之，则易算得这个方锥在高为h处的横截面积亦为h2．

　　再次，“外三棋”和方锥在等高处的截面积总是相等，祖氏父子说“叠棋成立积，缘幂势既同则积不容异”，这两个立体体积不容不等．于是算得“外三棋”体积与一个方锥体体积相等，即等于1/3立方体，从而算得“牟合方盖”体积为2/3立方体．
　　最后再应用刘徽的成果：
　　球体积：“牟合方盖”体积=圆面积：外切方面积从而求得球体积的正确公式：

　　在这里，祖氏父子应用了“缘幂势既同则积不容异”的原理，这一原理和意大利数学家B．卡瓦列里(Cavalieri，1598—1647)所提出的“卡瓦列里公理”的意义是相同的．按道理，应该将“卡瓦列里公理”改称之为“祖氏公理”．
　　在谈到祖冲之在数学方面的成就时，我们还应提到那部失传已久的《缀术》．
　　《隋书·律历志》在记述了祖冲之在圆周率方面的成就之后说：“(祖冲之)……又设开差幂、开差立，兼以正员(按：应为“负”)参之，指要精密，算氏之最者也．所著之书称为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理．”唐代王孝通在其所著《缉古算经》的“自序”中说“祖暅之《缀术》(在古代史料中，多有将《缀术》记为祖暅所撰者)时人谓之精妙，曾不觉方邑进行之术，全错不通，刍甍、方亭之问，于理未尽”．根据这二条资料，可知《缀术》的内容有“开差幂、开差立”、有“方邑进行之术”、有“刍甍、方亭之问”．这些问题，据研究推断，可能是一些有关二、三次方程的解法，“兼以正负参之”也可能是指其中的系数可正可负．假如这种推断是对的，那么可以说这些成果成为后世宋元时期中国数学家高次方程解法的先声．
　　唐显庆元年(公元656年)国子监添设算学馆，规定《缀术》是必读书籍之一，学习期限为四年，是时限最长的一种．《缀术》还曾流传至朝鲜和日本，在朝鲜、日本古代教育制度、书目等资料中，都曾提到《缀术》．
　　《宋史·楚衍传》中说“楚衍……于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙．……天圣(1023—1031)初造新历”，可见宋初时期《缀术》或者尚未失传．
　　祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在他所编制的大明历和为大明历所写的“驳议”之中．
　　按祖冲之的自述，大明历“改易之意有二，设法之情有三”．所谓“改易”，是指闰周的改革和在历法计算中考虑岁差的影响；所谓“设法”则都是和上元积年的推算有关系．
　　中国古代的天文学家开始时认为：太阳在黄道上，从冬至点开始，经过一个回归年的运行又回到原来的冬至点，即开始时认为冬至点是固定不变的．但经过长时期的观察，逐渐认识到太阳回不到原来的冬至点，也就是说冬至点每年都要向后(即向西)移动．据现代的观测，冬至点大约每年沿黄道后移50.2″，换算成赤经度数则为大约78年后移1°(如

它是由太阳、月亮和其他行星对地球赤道突出部分的引力使地球自转轴产生进动所引起的．
　　中国古代历法对冬至十分重视，因此对冬至点所处恒星间的位置的观测也十分注意．入汉以后的诸家历法逐渐发现冬至点逐年的变化并载有冬至点的位置．魏晋以后，观测日趋细密，对岁差现象的探讨也前进了一大步．晋代天文学家虞喜“使天为天，岁为岁，乃立差以追其变，使五十年退一度”(唐代一行《大衍历·议》)，是虞喜首先正式指出岁差现象并给出50年1度的岁差数据．其后姜岌、何承天虽然也都给出了各自的数值，但首先把岁差的影响考虑到历法计算之中的，乃是祖冲之．
　　 祖冲之给出的赤经岁差数值为45年11个月退行1度．大明历中的

以39491除之再与回归年日数相比，可知祖冲之在历法计算中使用的岁

11个月退行1度极为接近．
　　祖冲之大明历中第二项重大改革是关于闰周的改革．早在公元前500年左右，中国古代天文学家便采用了19年7闰(即在19年里放置7个闰月)的闰周．这虽然可以把回归年和朔望月日数之间产生的关系调和得比较好，但闰数仍嫌大了一些．尽管东汉末年以来的天文观测日趋精密，但天文学家们却总是墨守着这一置闰周期，没有进行改进．第一个冲破这一陈旧闰周的是南北朝时期北凉的赵，他提出了600年间置入221个闰月的新闰周．但南朝何承天在编制元嘉历时，却未能接受改革闰周的新思想．而祖冲之在其所编大明历中却大胆地采用了改革的思想，提出391年置入144个闰月的新闰周．直到唐代初年中国天文学家不再讨论闰周时止，祖冲之提出的闰周，在诸家历法中要算是最好的．
　　祖冲之大明历所给出的回归年长度为365.24281481日，直到宋代杨忠辅所编统天历(回归年长度为365.2425日)时止，在历代诸家历法中，这一数值也是最好的．由于回归年日数和闰周数据都比较精密，故大明历朔望月日数——29.5305915日也是比较精密的，误差仅为0.0000056日，每月约长0.5秒．直到宋代明天历、奉元历、纪元历等等历法中，才有更好的朔望月数据出现．
　　大明历三项新的“设法”都和“上元积年”的计算有关．在中国古代，天文学家为了计算上的方便，大都先推算出一个若干年前的一个理想历元，使各种天象周期都处于初始状态．这样，历法中的其他计算均可依此顺利算出．这个理想中的历元被称为“上元”，由“上元”到编制历法时止的累计年数被称为“上元积年”．例如汉初时的太初历便提出以“元封七年十一月甲子日朔旦冬至”为上元，后来的历法还提出把五星也包括进去，即“五星联珠”(五星处在同一初始状态)，“日月合璧”(日月也同在此方位上)．据大明历正文记载，祖冲之进一步提出：历元必须是“上元之岁，岁在甲子，天正甲子朔夜半冬至，日月五星聚于虚度之初，阴阳迟疾，并自此始”，即要求“上元”之年必须是甲子年，此年十一月初一日亦须是甲子日，此日夜半需恰好为合朔和冬至节气，而且需要此时的日月五星(包括月亮又刚好处在近地点和黄白道的—个交点)都聚集在虚宿初度．
　　由于日月五星以及其他若干天文周期都是极复杂的小数(中国古代则是分数)，而且天文观测的精确程度又受到时代的局限，所以这种上元积年的推算对历法的编制和对天文学发展可能弊大于利，但它却具有较大的数学方面的意义．因为，当各种天文周期测定和算定，又经观测定出日月五星等观测时所处位置之后，计算上元积年问题是一个求解联立一次同余式问题．在这方面中国古代天文学家和数学家取得了较大的成就(“孙子问题”、“大衍求一术”)．
　　关于冬至时刻的推算，祖冲之首创了巧妙的测量与计算方法，并取得相当好的测算结果，这是大明历的又一项成就．
　　祖冲之在大明历中还给出交点月的日数27.2122304(717777726377日)，这是中国历法史上的第一个交点月日数数据．与现代的理论数值(27.2122152日)相比，仅差0.0000152日，每交点月误差为1.3秒．大明历给出的五星周期数据也比较好：
　　木星：398.9030918日(15753082/39491日)
　　火星：780.0307918日(30804196/39491日)
　　土星：378.0697881日(14930354/39491日)
　　金星：583.9308703日(23060014/39491日)
　　水星：115.8796688日(4576204/39491日)　　
　　除天文历法和数学之外，祖冲之还制造过各种奇巧的机械，同时他还通晓音律，可以称得上是一位博才多艺的科学家．
　　祖冲之曾造过指南车并获得成功．在中国古代指南车的名称由来已久，但其机制构造则未见流传．三国时代的马钧曾造指南车，至晋再次亡失．东晋末年刘裕攻长安，得姚秦许多器物，其中也有指南车，但“机数不精，虽曰指南，多不审正，回曲步骤，犹须人功正之”．南朝刘宋昇明年间(公元477—479年)肃道成辅政，“使冲之追修古法．冲之改造铜机，圆转不穷而司方如一，马钧以来未有也．”当时还有一位来自北方的工匠名为索驭驎，自称也能造指南车．肃道成“使与冲之各造，使于乐游苑共试校”，而索驭驎所造“颇有差僻，乃毁焚之”．
　　祖冲之还“以诸葛亮有木牛流马，乃造一器，不因风水，施机自运，不劳人力”，但这是一种什么机具，因缺乏资料，使人很难想象．祖冲之“又造千里船，于新亭江试之，日行百余里”，这显然是一种快船．他又“于乐游苑内造水碓磨，武帝(萧赜，公元483—493年在位)亲自临视”．
　　祖冲之还曾制造过“欹器”．这种器具用来盛水“中则正，满则覆”，古人常放置在身边以自警，“晋时杜预有巧思，造欹器三改不成”．南齐永明年间(萧赜)竟陵王萧子良“好古，冲之造欹器献之”．

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謝謝！

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http://www.shc2000.com/0406/hantangzh.htm
汉唐之际历法改革中各作用因素之分析
钮卫星（上海交通大学科学史与科学哲学系 上海 200030）
　
摘要：该文以汉代到唐代的历法争论为中心，分析了引起历法争论和改革的原因，探讨了影响和决定历法争论双方胜负的主要因素。指出历法改革不是一项现代意义上的纯粹的科学活动，而是一项具有古代中国特色的文化和政治活动。
关键词：历法争论 历法改革 作用因素
On the Factors that Caused the Calendarial Debates and Reforms　from Han to Tang Dynasty
NIU Weixing
（Department of History of Science, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030, China）
Abstract
The paper concentrated on the calendarial debates and reforms from Han to Tang Dynasty, the reasons that caused the calendarial debates and reforms are analyzed first, the determinant factors that caused who won the debate are also discussed furthermore, it is pointed finally that these calendarial reforms are not pure scientific activities of modern sense but cultural and political movement with ancient Chinese features.
Keywords: Calendarial debates, Calendarial reforms, Determinant factors
　
一、引言
　　在中国古代，历法因为有其特殊的象征意义，它们的制定和颁布完全有官方操办，被当作一件国家大事对待。而与此相关的一个特殊现象是，几乎每一部新历法问世的前后，都会引发一场争议。历法争论的双方或多方，往往并不简单地是真理与谬误之争。争论之胜方未必正确，败者未必错误；后颁行的历法未必就优于先前的历法；颁行的历法也未必精于未颁行之历法。造成这一切的原因是错综复杂的。笔者希望通过本文的阐述，对中国古代影响历法改革的诸多因素作一梳理和分析，考察它们在历法改革中起着怎样的作用。这一研究显然也有助于认识历法在中国古代社会的地位和性质。

二、引起历法争论的原因
　　从汉代到唐代千余年间，较大规模的历法争论发生了不下十次。发生历争的原因是错综复杂的，以下五条是引起历法争论和改革最为常见和重要的原因。
　　1. “改正朔、易服色”——历法改革政治层面上的原因
　　“改正朔、易服色”是改历最直接、最常见也是最堂而皇之的理由。改朝换代，一切惟新。颁正朔于天下，正是政权确立和获得承认的象征。史书此类文字可谓比比皆是，以下略引五条：
　　王者易姓受命，必慎始初，改正朔，易服色，推本天元，顺承厥意。（《史记·历书》）
　　汉兴，方纲纪大基，庶事草创，袭秦正朔。……正朔服色，未睹其真。（《汉书》卷二十一律历志上）
　　武帝元封七年，诏御史大夫倪宽曰：“与博士共议，今宜何以为正朔？服色何上？”宽与博士议，皆曰：“帝王必改正朔，易服色，所以明受命于天也。”（《汉书》卷二十一律历志上）
　　魏文帝黄初中，尚书令陈群奏：“大魏受命，宜改历明时”。（《晋书》卷十七律历志中）
　　北魏正始四年，公孙崇表曰：“帝王相踵，必奉初元，改正朔，殊徽号、服色，观于时变，以应天道”。（《魏书》卷一百七律历志上）
这里所谓“改正朔”就是要建立起一套有本朝特色的历法系统。“易服色”则是与邹衍终始五德理论有关的东西。按邹衍五德，周为火德，色尚赤；秦水克周火，秦得水德，色尚黑。张苍以汉为水德，当时学者颇有意见，以为是袭秦正朔。后来有人提出汉应为土德，汉土克秦水。但也有人提出暴秦不能算作一代，汉水是直接承周火的。
　　2. “分至乖失，则气闰非正”——历法改革技术层面上的原因
　　“分至乖失，则气闰非正”（《宋书》卷十三）是祖冲之进《大明历》所上奏表中所说的一句话，这句话很概括地说明了在古代一部历法为什么要精益求精地编排准确。因为如果历法有偏差，分点、至点定不准，则会引起“气闰非正”，这在古人看来是非常严重的错误。
　　后汉元和二年（85A.D.）《太初历》误差越来越大，晦朔弦望与实际发生的时间差了一天。汉章帝命治历编昕、李梵等治新历，并下改历诏称：
　　闲者以来，政治不得，阴阳不和，灾异不息，疠疫之气，流伤于牛，农本不播。夫庶征休咎，五事之应，咸在朕躬。信有阙矣，将何以补之？《书》曰：“岁二月，东巡狩，至岱宗，柴，望秩于山川。遂观东后，叶时月正日”。祖尧岱宗，同律度量，考在玑衡，以正历象，庶乎有益。……先立春一日，则四分术之立春日也。以析狱断大刑，于气已迕；用望平和随时之义，盖亦远矣。今改行《四分历》，……以明予祖之遗功。（《续汉书·律历志中》）
从汉章帝改历诏可见，改历的原因首先在于政治不得、阴阳不和、灾异不息等（这也是改历的一个常见原因，详见下文讨论）。其次是因为立春已经差了一日。改历诏说明了迫切需要校正立春的原因：《太初历》之立春日已晚《四分历》（被视为正确）之立春日一天，《太初历》立春前一日可以“析狱断大刑”，但据《四分历》这日立春，在这天析狱断大刑于气已迕。秋分以前、立春以后析狱断大刑在古代被视为有伤天地和气的事情，所以冬至立春等节气万万定错不得。
　　《资治通鉴》载隋文帝开皇十七年（597A.D.）事：
　　帝尝乘怒，欲以六月杖杀人，大理少卿河东赵绡固争曰：“季夏之月，天地成长庶类，不可以此时诛杀”。帝报曰：“六月虽曰生长，此时必有雷霆，我则天而行，有何不可！”遂杀之。（《资治通鉴》卷一百七十八）
隋文帝很固执地要在六月杖杀一人，受到大理少卿的苦谏，虽然最后还是杀了那人，但文帝也承认六月生长，杀人是不妥当的。但他强调自己是天子，发雷霆之怒是“则天而行”，所以关系不会太大。这个反例还是能证明古人一行一动都要考虑是否合于时宜。隋文帝作为皇帝才敢在在六月杀人，其他人若要仿效，皇帝就要跟他秋后算帐了，具体的时间在秋分以后。
　　在唐代的法律中对“析狱断大刑”的时间作了明文规定：
　　诸立春以后、秋分以前决死刑者徒一年。疏议曰：依狱官令，以立春至秋分，不得奏决死刑，违者徒一年。其大祭祀及致斋、朔望、上下弦、二十四气、雨未晴、夜未明、断屠月日及假日，并不得奏决死刑。（《唐律疏议》卷三十）
《唐律疏议》所说的朔望、上下弦、二十四气等时刻，没有相当精确的历法是无法定准的。比如《太初历》立春晚《四分历》立春一日，所以于《太初历》立春前一日析狱断大刑实际上于气已迕了。
　　这种在现代人看来有点不可思议的思想，其实与古人阴阳和谐的大理论是相符的。古人相信如果违反上述规定，就有国家多难、江山不保之虞。而如果某部历法被指控为违天，而且考验结果也如此，这部历法就必须得被取代，因为它已经不能正确地指导人们行事。但改历在古代毕竟是一件大事，所以往往要前后考验，群臣博议，历争也往往就在这种时侯发生。
　　3. 预报交食不准——改历的一个重要原因
　　预报交食发生的时刻和方位等，是中国古代历法的一项重要任务。如果历法对交食的预报不准，一般就要对它进行修改或甚至用一部新历法取代它。
　　西汉围绕《太初历》发生了很多争论，有些争论在今天看来并不是科学层面上的争论。但是围绕月食预报准确与否的争论，却可以纳入今天的科学范畴。《太初历》预报永平五年（62A.D.）七月十六日月食，杨岑上书称“月当十五日食，官历不中”。于是又命杨岑推算七月至十一月的弦望，与官历较验。结果《太初历》全错，杨岑的结果都对。这样就引发了对《太初历》的修改。后来又有张盛、景防、鲍业等以四分法与杨岑较验，一年多下来，张盛等的结果又比杨岑的更好。最后《四分历》取代了《太初历》。
　　《四分历》虽比《太初历》精密，但仍不是尽善。早在永元元年（89A.D.），《四分历》行用刚四年，就有月食预报失误的例子。当时有位叫宗绀的对《四分历》的月食法做了修正。本初元年（146A.D.）月食又出现误差，至熹平三年（174A.D.）二十九年中，早于预报时刻的月食共发生了十六次。于是常山长史刘洪作“七曜术”，太史部郎中刘固、舍人冯恂等作“八元术”、“月食术”，与《四分历》参照使用。
　　熹平四年（175A.D.）宗绀之孙宗诚上书，称受其祖父法术，历法又当改正，并预言“今年十二月当食，而官历以后年正月”。果然如其所言，于是拜宗诚为舍人，并用他的方法推算月食。
　　隋开皇十四年（594A.D.）七月，隋高祖询问日食的情况，杨素等奏称：太史共奏日食二十五次，只有三次发生在朔日，一次在晦日依言而食，但食不得时，又不知食起方位，其余皆无验。张胄玄所推全部应验，刘孝孙所推应验也过半。高祖闻奏，召刘孝孙、张胄玄亲加慰问。但刘孝孙提出先斩刘晖，才可改历。高祖不悦，所以改历之事作罢。
　　唐开元九年（721A.D.）因《麟德历》预报日食接连不准，于是命僧一行作新历，因此有《大衍历》问世。
　　由上可见，交食在历法改革和历法争论中是一个非常重要的决定因素之一。正如一行在《大衍历议·日蚀议》中指出的，“使日蚀皆不可以常数求，则无以稽历数之疏密。”（《新唐书》卷二十九）交食预报准确与否，被当做是评判一部历法优劣的重要指标。但值得指出的是，中国古代非常重视历法预报交食的准确性，主要是因为日月交食具有重大的星占意义。 ［１］
　　4. 灾异、祥瑞和重大祭祀活动等也引发改历
　　《太初历》行用之后，反对之声不绝。汉昭帝元凤三年（78B.C.）太史令张寿王上书称：“历者天地之大纪，上帝所为，传黄帝调律历，汉元以来用之．今阴阳不调，宜更历之过也”（《汉书》卷二十一上）。张寿王所指的“阴阳不调”也见于《资治通鉴》卷二十三所载汉昭帝元凤三年事：
　　春正月，泰山有石自立起。上林有柳树枯僵自起生，有虫食其叶成文，曰：“公孙病已立”。符节令鲁国眭弘上书，言：“大石自立，僵柳复起，当有匹庶为天子者。枯树复生，故废之家公孙氏当复兴乎？汉家承尧之后，有传国之运，当求贤人禅帝位，退自封百里，以顺天命。”弘坐设妖言惑众，伏诛。
眭弘为符节令，他的上书是在其位而言其事，但太过书生气了。哪家帝王自愿“求贤人禅帝位，退自封百里”呢？宜其伏诛也。不过泰山石自起立、枯柳复生之类，在古人眼里确实是阴阳不调的象征，因此太史令张寿王将之归咎为改历之过。经过一番考核之后，证明张寿王的历法比《太初历》疏阔。结果治了张寿王“非汉历，逆天道，非所宜言，大不敬”之罪。
　　实际上前引元和二年（85A.D.）汉章帝改历诏中论述改革《太初历》的原因时便首称政治不得、阴阳不和、灾异不息等等，所不同的是，汉章帝是自己主动向天下坦白，而张寿王则是非所宜言了。
　　汉安帝延光二年（123A.D.），中谒者亶诵上言当用《甲寅元历》；河南梁丰言当复用《太初历》；尚书郎张衡、周兴皆通历数，以为“九道法”最密。于是议论蜂起，参与争论者分为几派，多达百余人。最后尚书令陈忠奏称：假如“四分有谬，不可施行”，那么“元和凤鸟不当应历而翔集”，并指斥他议皆属“漏见曲论，未可为是”。（《续汉书》律历志中） 于是这次历争暂时平息。有了“凤鸟应历而翔集”这一祥瑞，《四分历》终于占了上风，而张衡等精通历数的天文学家们的议论，倒成了“漏见曲论”。
　　汉灵帝熹平四年（175A.D.），五官郎冯光、沛相上计掾陈晃言：
　　历元不正，故妖民叛寇益州，盗贼相续为害。历当用甲寅为元而用庚申，图纬无以庚申为元者，近秦所用代周之元也。（《续汉书》律历志中）
于是议论又起。议郎蔡邕议曰：“三光之行，迟速进退，不必若一。术家以算追而求之，取合于当时而已。”从《四分历》推算，“上至获鳞，岁在庚申，上极开辟，则元在庚申”，所以以庚申为元，“谶虽无文，其数见存”，也就是说，《四分历》用庚申元是大有讲究的。至于国有妖民、盗贼，蔡邕解释说：“昔尧命羲和历象日月星辰，舜叶时月正日；汤武革命，治历明时，可谓正矣，且犹遇水遭旱，戒以‘蛮夷猾夏，寇贼奸宄’。而光、晃以为阴阳不和，奸臣盗贼，皆元之咎，诚非其理。”太尉、司徒、司空根据蔡邕之议劾冯光、陈晃“不敬，正鬼薪法”，诏书勿治罪。（《续汉书》律历志中）
　　这次历争的发起者冯光、陈晃更是直接把当时国内政治动荡、盗贼横行的局面归咎于历法用了不恰当的历元。蔡邕的议论却并不直斥其非，而有持其博学、强词夺理之嫌。
　　贞观十四年（640A.D.）太宗将亲祀南郊，以十一月癸亥朔，甲子冬至；依李淳风术，以甲子合朔冬至。李淳风上言，称“傅仁均以减余稍多，子初为朔，遂差三刻”。司历南宫子明、太史令薛颐等言“淳风之法较《春秋》以来晷度薄蚀，事皆符合”。国子祭酒孔颖达及尚书八座参议，请从李淳风。（《新唐书》卷二十五）
　　初唐的这次历争焦点是到底是依傅仁均的“癸亥朔甲子冬至”，还是依李淳风“甲子合朔冬至”。本来冬至与朔日是否在同一天也无关痛痒，然而恰好在这一年的冬至唐太宗将亲祀南郊，这是一次重大的国事活动，这种日子的选定在古代大有讲究．“甲子合朔冬至”在古人看来是不寻常的日子，许多历法的上元定在“甲子合朔冬至”，并被当作一个优点。正因为如此，当时参加议论的大都倾向于李淳风。最后果然从李淳风，以甲子合朔冬至。四年以后以李淳风的《麟德历》取代了傅仁均的《戊寅历》。
　　5. 门户之争加剧历法争论
　　历法争论中有时为了维护本门学统而使历争更趋激烈。后汉《四分历》行用后违天，先有宗绀上书改正，后有宗绀之孙宗诚也改正《四分历》。张恂以为宗诚术不对，引起历争。宗诚之兄宗整也加入争论，维护宗氏学统。争论的结果是仍旧施行诚术，但双方的结局都不体面：“恂、诚各以二月奉赎罪，整作左校二月”。（《续汉书》律历志中）
　　魏文帝黄初中，韩翊以为刘洪《乾象历》改斗分太过，造《黄初历》，引起《乾象》、《黄初》之争。维护《乾象历》的主要人物之一是徐岳。徐岳议论道：
　　刘洪以历后天，潜精内思二十余载，……为月行迟疾交会及黄道去极度、五星术，理实精密，信可长行．今韩翊所造，皆用洪法……（《晋书》卷十七）
　　徐岳尝作《数术记遗》一卷，在书中自述云：
　　余负帙游山，跖迹志道，备历丘岳，林壑必过。乃于太山见刘会稽，博识多闻，遍于术数。余因受其业，颇染所由。 ［２］
　　徐岳师从刘洪，理所当然要为《乾象历》与韩翊展开争论了。
　　祖冲之造《大明历》，为戴法兴所阻，故大明历未行于刘宋一朝。梁天监三年（504A.D.）下诏定历，祖冲之之子祖暅之继承乃父遗志，继续申明宜用祖冲之历法。祖暅之在奏表中称“臣先世在晋以来，世居此职”。可见祖氏于历学一道是家学渊源。由于祖暅之的努力，祖冲之历法终于在天监九年（510A.D.）得以施行。
三、决定历争双方胜负的判决性因素
　　1. 以实测结果检验历法优劣
　　《太初历》施行后，汉昭帝时的太史令张寿王持有异议。昭帝命主历使者鲜于妄人诘问，张寿王不服。鲜于妄人请求实测日月晦朔、弦望、八节、二十四气来比较诸历疏密。昭帝命他与丞相、御史大夫、大将军、右将军史各一人在上林清台测验。以元凤三年（78B.C.）十一年朔旦冬至起，至五年（76B.C.）十二月至，共比较十一家历法的疏密。考核结果，张寿王历最疏远。接着又进行了一年较验，《太初历》结果最密，得第一；张寿王及待诏李信治《黄帝调历》，结果最差。他们又指责《太初历》亏四分日之三，去小余七百五分，故阴阳不调，谓之乱世。于是张寿王以“诵不详之辞，作祆言欲乱制度，不道”的罪名被判入狱。终不服，再治其死罪，遇赦不问。这里杂候上林清台就是在皇家天文台用实测结果检验。检验的结果固然是张寿王术最疏远，但张寿王不服这样的判决，以至于治其死罪。
　　光和二年（179A.D.）宗诚推得四月月食，张恂等推得月食以“三月近、四月远”，要求废诚术，用恂术。恰好该年三、四、五月都是阴天，不知月食与否。第二年宗诚之兄宗整上书“去年三月不食，当以四月。史馆废诚正术，用恂不正术。”太史主此事者莫衷一是，只得说：“食当以见为正，无远近”。这里“食当以见为正，无远近”的说法虽然是主事者难以判断诚术、恂术孰优孰劣而采用的遁辞，但却是有一定道理的。据近代学者考证，光和二年三、四、五月都不发生月食。［３］既然不能从这次月食预报中判断孰是孰非，韩说、蔡较、刘洪、陈调等奉命综较诚术与恂术，结果得出“诚术未有差错之谬，恂术未有独中之异”这样一个模棱两可的结论。并建议继续施用诚术，废弃恂术。张恂不服，复上书，宗整、宗诚也不缄默，事下永安台核实，结果皆不如恂、诚等言。治三人谩欺之罪。但仍施行诚术，刘洪等被重用。可见这里的争端又诉诸于永安台的实测资料来解决。
　　梁初因齐，沿用《元嘉历》。天监三年（504A.D.）下诏定历，祖暅之上其父历法。八年（509A.D.）又上书。乃诏命较验新旧二历气朔交会及七曜行度，起八年十一月，讫九年（510A.D.）七月，新历密，旧历疏。于是自天监九年正月始，用祖冲之所造《甲子元历》颁朔。这里祖冲之历法能取代何承天《元嘉历》，也是以实测证明前者比后者更精密为条件的。
　　北魏延昌四年（515A.D.）太傅、清河王元怿等奏，以为“天道至远，非人情可量；历数幽微，岂以意辄度”，建议“今年至日，更立表木，明伺晷度”。如此，“三载之中，足知当否。令是非有归，争者悉竞，然后采其长者，更议所从”。 （《魏书》卷一百七）当时面对各家纷纷进献各自历法的局面，北魏的高级官员建议皇帝建造仪器，进行实测检验。希望在三年时间里使得“是非有归，争者悉竞”，然后选取其中与实测符合得多的行用。这里解决纷争、确定优劣的办法也是用实测。
　　《大衍历》颁行后，瞿昙譔和南宫说等指控《大衍历》抄袭《九执历》。唐玄宗也同样想到用事实来说话，命令侍御史李麟、太史令桓执圭比较“灵台候簿”——一种皇家天文台的实测记录。结果“《大衍》十得七八，《麟德》才三四，《九执》一二焉”。（《新唐书》卷二十七上）检验的结果是《大衍历》最好，《九执历》最差。于是南宫说等被问罪，对《大衍历》的指控也被否决。虽然，这次所谓的用实测结果检验，是不能否决“《大衍历》抄袭《九执历》”的指控的。因为《大衍历》果真采纳了《九执历》的一些内容，取长补短，自然就优于《九执历》。事实上，经当代学者的研究，《大衍历》中的某些内容确实来源于《九执历》。［４］但是，不管怎样，用实测结果进行检验历争双方孰是孰非，不失为一个较为合理的方法，而且是一种颇具现代科学精神的方法。
　　2. 符合经典与传统是历法被接受的重要因素
　　元嘉二十年（443A.D.）何承天上《元嘉历》。皇帝下诏对此详加讨论。太史令钱乐之等提出了数条反对意见，其中一条称：
　　又承天法，每月朔望及弦，皆定大小余，于推步交会时刻虽审，皆用盈缩，则月有频三大、频二小，比旧法殊为异。旧日蚀不唯在朔，亦有在晦及二日。《公羊传》所谓“或失之前，或失之后”，愚谓此一条自宜仍旧。（《宋书》卷十二）
钱乐之等对何承天为了确保交蚀必定发生在朔望而对旧法作出的改进表示了异议，认为自古以来日蚀不只发生在朔，也有在晦及二日。其实这只能说明旧法不精确，《公羊传》也将这种情况称为“失”。后又有员外散骑郎皮延宗就月有频三大、频二小责难何承天。何承天只得改新法依旧术，不再每月定大小余。这里我们看到了改革思想遇到保守的传统思想反对而退却的例子。
　　高洋代东魏称帝，建元天保（550-559A.D.），为北齐文宣帝。文宣受禅，即命散骑侍郎宋景业协图谶，造《天保历》。宋景业奏称：“依《握诚图》及《元命包》，言齐受录之期，当魏终之纪，得乘三十五以为部，应六百七十六以为章”。（《隋书》卷一十七） 文宣大悦。听到自己篡位竟是符合图谶、顺天应人之举，当然高兴。
　　唐傅仁均治《戊寅历》，历成，上表称《戊寅历》可考验者有七：（1）唐以戊寅岁甲子日登极，历元戊寅，日起甲子，如汉《太初历》；（2）冬至五十余年辄差一度，日短星昴，合于《尧典》；（3）周幽王六年十月辛卯朔，入蚀限，合于《诗》；（4）鲁僖公五年壬子冬至，合《春秋命历序》；（5）月有三大三小，则日蚀常在朔，月蚀常在望；（6）命辰起子半，命度起虚六，符阴阳之始；（7）立迟疾定朔，则月行晦不东见。（《新唐书》卷二十五） 用今天的标准来判断，以上5、7两条还可以说是对交食和月亮运动的推算达到了一定的精度；另外五条所谓“如《太初历》”、“合于《尧典》”、“合于《诗》”、“合《春秋命历序》”、“符阴阳之始”等只对古人有意义，它们无非是要说明自己的历法乃符合经典和传统之作。
　　要使历法符合经典和传统，是古代历家普遍接受的判据，在历法争论中，也为历争双方共同接受。刘洪《乾象历》、一行《大衍历》堪称一时巨制。然而《乾象》、《大衍》也未能免俗。乾象“依《易》立数”；《大衍历议》也称言其术推大衍数而成，应于《易》。
　　3. 帝王个人的性情好恶和政治目的影响历争双方胜负
　　史称隋文帝杨坚“好禨祥小数”（《资治通鉴》卷一百七十八）。隋朝前后两次大规模历争双方的命运跟隋文帝的这一性格密切相关。
　　杨坚要行禅代之事，想搞出些符瑞来说明自己篡位是顺天应人之举。有一道士张宾，投其所好，自称通晓星历，说有改朝换代的迹象。又说杨坚仪表非人臣相。张宾因此受宠。隋高祖受禅之初，即命张宾与刘晖、董琳、马显等十六人议造新历。张宾等依何承天法，微加增损，于开皇四年（584A.D.）撰成奏上。高祖乃下诏曰：
　　张宾等心存算数，通洽古今，每有陈闻，多所启沃．毕功表奏，具已披览．……有一于此，实为精密，宜颁天下，依法施用．（《隋书》卷一十七）
张宾精于钻营，杨坚篡位后又急于易正朔改服色。《开皇历》增损旧法而成，“实为精密”云云徒为空谈而已。《开皇历》即行，刘孝孙与冀州秀才刘焯并称其失。张宾正有宠于高祖，刘晖又附会之。二人共短刘孝孙，指控他“非毁天历，率议迂怪”，刘焯则“妄相扶证，惑乱时人”。新历刚刚颁布，政权刚刚稳定，刘孝孙和刘焯改历的呼声在隋高祖看来太有点不合时宜。结果二刘以他事斥罢。
　　张宾、刘孝孙先后死去。前次历争中的配角张胄玄获得进用。刘焯又增损刘孝孙历法，更名为《七曜新术》，奏上。然刘焯法与张胄玄法颇相乖爽，袁充与张胄玄颇忌刘焯，故刘焯法未被采用。
　　开皇十七年（597A.D.）张胄玄历成，高祖命杨素等校其短长．刘晖等执旧术，与司历刘宜援据古史影等，共驳张胄玄。刘宜列举从古以来二至太阳位置、日影长和月食发生的位置、食分、食长、所起方位等大量数据，用来比较新旧历法的疏密，证明旧历能较好地符合天象，而张胄玄历不能尽中。两派迭相驳难，高祖惑焉，逾时不决。恰在此时有位通事舍人颜敏楚上书说：
　　汉落下闳改颛顼历作《太初历》，云后八百岁此历差一日，当有圣者定之．计今相去七百一十年．术者举其成数．圣者之谓，其在今乎？ ［５］
高祖大悦，欲神其事，于是下诏：
　　朕应运受图，君临万宇。思欲兴复圣教，恢弘令典，上顺天道，下授人时。令与太史旧历并加勘审，胄玄历数与七曜符合；太史所行乃多疏桀。刘晖、郭翟、刘宜、任悦往经修造，致此乖谬。庾季才、刑俊、郭远、苏粲、傅俊、成珍等虚行此历，无所发明。论晖等情况，已合科罪，方共饰非护短，不以正法．季才等附下罔上，义实难容。（《隋书》卷一十七）
结果刘晖等四位首犯除名；庾季才等六人削去官职。张胄玄历法付有司施行，其本人被擢升为员外散骑侍郎，领太史令。历争双方的命运可谓有天壤之别，全在高祖“欲神其事”一念。
　　由于张胄玄、袁充进用，使得刘焯和他的《皇极历》受到排挤。大业四年（608A.D.）太史奏“日食无效”。炀帝召刘焯，欲行其历。然而袁充正受宠幸，与张胄玄一起排斥刘焯之历。正好刘焯死，《皇极历》终究不得施行。当时术士皆称《皇极历》精妙。
　　张宾、张胄玄和袁充的进用和被宠正是与隋文帝的个人好恶和政治目的有关。这直接影响了刘孝孙与张宾、刘焯与张胄玄之间发生的历法争论。不仅极大地影响了他们各自的命运，更使得当时相对先进的历法得不到颁行。

四、余论
　　通过本文的论述我们可以看出，历法是中国古代特有的具有深刻思想基础的一种文化现象。每一次历法改革中发生的争论，决非只是简单的真理与谬误之争。历法改革不是一项现代意义上的纯粹的科学活动，而是一项具有古代中国特色的文化和政治活动。从引起争论的原因到决定历争双方胜负的因素来看，都超出了作为一种精密知识体系的历法本身。
　　我们可以把中国古代的历法改革分成“改术”和“改历”两个层面。有时某部历法中的几项数据被修正了、某个或几个计算公式被修改了，在我们今天看来，这部历法已经有了实质性的改变。但在古代这不属于历法改革，这只是一种改术。如后汉《四分历》行用之初，便有宗绀用他的推算方法对《四分历》月食推算法作了修正（89A.D.）。熹平四年（175A.D.）宗绀之孙宗诚称受其祖父法术又对《四分历》作了修正。同时刘洪等人的《九道术》等也被用进《四分历》。但这种修补工作不称为改历，当时的官方历法始终是《四分历》。
　　有时历法在技术上并没有什么实质性改进，如曹魏杨伟作《景初历》（237A.D.），晋代魏后袭用《景初历》，只是改名为《泰始历》。又一行《大衍历》称不刊之典，其后如《宝应五纪历》等都只是增损大衍旧术而已，但这却是古人眼里的改历。
　　因此大致可以这样来理解：改术只是在一部历法内部作修改，以维持该历法的各项功能，尽量延长其行用寿命。改术在客观上可以被认为是一种我们今天所谓的科学活动。改历则要通过有关部门提请，皇帝批准，群臣博议等一系列程序的一项复杂活动，在本质上是一项政治活动，往往拌有大规模的历法争论发生。在改历过程中起作用的因素，在今天看来大多是非科学的。
　　历争又往往因为帝王驾崩或朝代终结而结束。祖冲之《大明历》原定于大明八年（464A.D.）颁行，然而恰好刘宋世祖驾崩而作罢。《乾象》、《黄初》之争，其实《乾象》已占上风，却碰上魏文帝驾崩，历争自然平息，《乾象历》也不得施行。唐中宗反正，太史丞南宫说造《乙巳元历》将成，而睿宗即位，罢之。北齐武平七年（576Ａ.D.）董峻、郑元伟非《天保历》，引起历争。加入争议的还有刘孝孙、张孟宾等，然而争论未定，北齐被北周所灭，历争也就作罢。这些充分说明了，历法带有强烈的帝王个人色彩和朝代特征，围绕历法的争论不是我们现在意义上的纯粹的科学论争。
　　天文学是中国古代各知识体系中最为严密的一种，而历法是其中数理含量最高的精华部分。一段时间以来学者们关注的一个热点问题是：“中国古代有没有科学？”对这个问题的回答涉及一系列问题，譬如“科学”一词的定义等等，而尤其必要的是，对最有可能成为“科学”的各门古代知识作一番具体的考察。本文对引起古代历法改革、历法争论的原因以及决定历争双方胜负的因素等问题的考察，可以看成是这样一种具体的工作。

注：
[1]参见江晓原《天学真原》（辽宁教育出版社，1991）153-160页的有关论述。
[2]［清］阮元，《畴人传》卷四。
[3]朱文鑫，《十七史天文诸志之研究》第53页，科学出版社，1965年。
[4]陈久金，瞿昙悉达和他的天文工作，《自然科学史研究》第四卷第四期（1985年），P. 321-327。
[5][清］阮元，《畴人传》卷十二“张胄玄传”。

[yfsum]

http://www.scitom.com.cn/history/person/psn022.html

东汉大科学家张衡
　
　　东汉时期，也就是距今约一千八百多年前（公元117年），一台利用水力推动自动运转的大型天文仪器――“水运浑象”（连接到科学里程碑漏水转浑天仪）在东汉的京都洛阳制造成功了。仅仅相隔了二十年（公元138年），安置在京都洛阳的又一台仪器――“候风地动仪”准确地报告了西方千里之外发生的地震。这标志着人类开始了用仪器记录研究地震的新纪元。这两台著名仪器的发明者就是张衡–我国东汉时期伟大的科学家、文学家。张衡对中国古代的天文学、地震学和机械力学作出了杰出的贡献。传说他还制造过指南车、记里鼓车等，因其机械制造水平很高，被尊称为“木圣”。
张衡小传
　　张衡，字平子，章帝建初三年（公元78年），诞生于南阳郡西鄂县石桥镇（今河南省南阳市城北五十里）一个破落的官僚家庭。祖父张堪是地方官吏，曾任蜀郡太守和渔阳（今河北省蓟县一带）太守。张衡幼年时候，家境已经衰落，有时还要靠亲友的接济。“自古英才多贫贱，从来纨绔少伟男” ，正是这种贫困的生活对他的成长起到了很好的作用。当时的南阳是经济和文化都很发达的地区，有“南都”之称。张衡在这样的环境熏陶下，加上他自幼刻苦好学，在青少年时代就已经为后来从事文学和科学事业打下了良好的基础。
　　由于家中的经卷典籍慢慢地不能满足张衡的求知欲望了，于是从十六岁开始，他便离乡游学，广结学者名流。他曾到汉朝故都长安一带，游览了当地的名胜古迹，考察了周围的山川形势、物产风俗、世态人情。后来他又到了当时的首都洛阳，就读于最高学府―大学。并成为学识比较渊博的学者。当时，地方上曾经推举他做“孝廉”，公府也多次招聘他去做官，但都被他拒绝了。
　　张衡自幼就对文学有特殊的爱好和研究。他的文学作品很多，风格也各不相同。有的形式短小，重在抒情，如《归田赋》。有的气势磅礴，广写景物，如《二京赋》；有的特色突出，独树一格，如《四愁诗》、《同声歌》等。和帝永元十二年（公元100年），二十三岁的张衡应邀回乡出任南阳太守鲍德的主簿，掌管文书工作。并在办理政务之余，潜心于文学创作。他以游学长安和洛阳的见闻作为素材，先后花了十年功夫，于安帝永初元年（公元107年）写成著名的文学著作《东京赋》和《西京赋》，总称为《二京赋》。文中，张衡以很大的篇幅无情揭露讽刺了当时京师中帝王贵族“取乐今日，遑恤我后，既定且宁，焉知倾”的腐败寄生生活，受到人民的欢迎而传诵于世。
　　后来，鲍德调任，张衡便辞职回家。掌握朝政的皇亲邓骘为了笼络士人，几次派人邀请张衡作他的幕僚，以增强自己这一派的势力。但张衡一方面厌恶外戚专权，一方面想专心钻研学问，都坚决地拒绝了。
　　在张衡三十四岁的时候，他的研究兴趣逐渐转到哲学和自然科学方面。他很喜爱扬雄（公元前53—公元18年）的哲学著作《太玄经》。《太玄经》的内容涉及天文、历法、数学等方面，引起了他很大的兴趣。《太玄经》里的一些朴素的唯物主义观点也给了张衡以很大的启发。
　　安帝永初四年（公元111年），张衡应征进京，先后任郎中、太史令、公车司马令等低、中级官职。其中担任太史令时间最长，前后达十四年之久。太史令是主持观测天象、编订历法、候望气象、调理钟律（计量和音律）等事务的官员。在他任职期间，对天文历算进行了精湛的研究，做出了重大的贡献。
　　汉朝时，关于天体运动和宇宙结构的学说已经出现了三种：盖天说、浑天说和宣夜说。盖天说创立最早，它认为天在上，地在下，天象一个半圆形的罩子，大地是平的，或者象一个倒扣着的盘子。浑天说主张天是浑圆的，日月星辰会转入地下。至于大地，早期的浑天说认为大地是平的，东汉三国时期的陆绩（公元187－219年）等进一步提出了大地是球形的概念，使浑天学说臻于完备。宣夜说却认为天没有一定的形状，而是无边无际的充满气体的空间，日、月、五星（金、木、水、火、土五大行星）等都飘浮在气体中。
　　张衡根据自己对天体运行规律的认识和实际观察，认真研究了这三种学说，认为浑天说比较符合观测的实际。他继承和发展了前人的浑天理论，在西汉耿寿昌发明的浑天仪的基础上创制了一个能够精确在表演浑天思想的“浑天仪”。他精通天文、历算，具有很强的革新思想，先后写出了《灵宪》、《灵宪图》、《浑天仪图注》等天文学著作，成为东汉中期浑天学说的代表人物之一。
　　张衡之所以能够在科学上做出杰出成就，成为伟大的科学家，和他坚持唯物观点、反对唯心主义和迷信思想有密不可分的联系。张衡一生为我国的科学文化事业作出了卓越的贡献，是我国古代伟大的科学家之一。他谦虚谨慎、勤学不倦，在所从事的事业中表现出了一丝不苟、精益求精、不畏强权、勇于进取的研究风格。而他不慕名利的高尚品德更值得我们学习。
　　永和四年（公元139年），张衡请求告老还乡不准，又被调到朝中做尚书，但只任职一年就与世长辞了，终年六十一岁。
《灵宪》
　　张衡一生所著的天文学著作，以《灵宪》最为著名。这是一部阐述天地日月星辰生成和它们的运动的天文理论著作，代表了张衡研究天文的成果。它总结了当时的天文知识，虽然其中也有一些错误，但还是提出了不少先进的科学思想和独到见解。例如，在阐述浑天理论的时候，虽然仍旧保留着旧的地平概念，并且提出了“天球”的直径问题，但是张衡进一步明确提出在“天球”之外还是有空间的。他说：“过此而往者，未之或知也。未之或知者，宇宙之谓也。宇之表无极，宙之端无穷。”就是说，我们能够观测到的空间是有限的，观测不到的地方是无穷无尽，无始无终的宇宙。这段话明确地提出了宇宙在时间和空间上都是无穷无尽的思想，是十分可贵的。
　　张衡在《灵宪》中指出月亮本身并不发光，月光是反射的太阳光。他说：“夫日譬犹水，火则外光，水则含景。故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽；当日则光盈，就日则光尽也。”（景就是影，魄指月亮亏缺的部分。）他生动形象地把太阳和月亮比做火和水，火能发光，水能反光，指出月光的产生是由于日光照射的缘故，有时看不到月光，是因为太阳光被遮住了。他这种见解在当时是十分新鲜的，也是正确的。同时，张衡还进一步解释了月食发生的原因。他说：“当日之冲，光常不合者，蔽于地也，是谓暗虚。在星则星微，遇月则食。”这段话的意思是：“望月”时，应该能看到满月，但是有时看不到，这是因为日光被地球遮住的缘故。他将地影的暗处叫做“暗虚”，月亮经过“暗虚”时就发生月食，精辟地阐述了月食的原理。至于“在星则星微”一句，说的是星星碰上“暗虚”就隐而不见了。现在看来这种说法是不正确的。由于星星距地球极为遥远，又大都是发光的恒星，不象月球一样属于行星，因此没有任何一个星星会进入地球的影子之中而失去了光芒。这是张衡的不足之处。这也可以看出在当时的水平下，古人的研究不可能作到尽善尽美。今人也一样，做任何事情的时候都不可能将事情作的绝对正确，但一定要最大程度的正确反映客观现实。
　　此外，张衡在《灵宪》中还算出了日、月的角直径，记录了在中原洛阳观察到的恒星二千五百颗，和近代天文学家观察的结果是相接近的。在他的另一部天文著作《浑天仪图注》里还测定出地球绕太阳一年所需的时间是“周天三百六十五度又四分度之一”，和近代天文学家所测量的时间三百六十五天五小时四十八分四十六秒的数字十分接近，说明张衡对天文学的研究已经达到了比较高的水平。
和迷信作战
　　东汉封建统治者为了加强他们的统治地位，把谶纬神学作为正统思想，强迫人们信奉。“谶纬”是以封建迷信来解释经书典籍，穿凿附会、用来预卜吉凶的一种学说。它的基本思想是宣扬“王权神授”、“天人感应”等唯心思想，因此很受统治者推崇，被尊为朝章国典。这些腐朽的唯心主义思想理所当然地受到了当时一些进步的思想家如扬雄、桓谭、王充等人的坚决反对。之后，张衡也积极投入到了反谶纬神学的斗争。安帝延光二年（公元123年），一场关于历法的大辩论掀起了：梁丰等人借口当时实行的四分历不合图谶，提出废除四分历，恢复太初历。四分历源于太初历，是对旧历在根据天体运行的实测资料修改后得来的，自章帝元和二年（公元85年）开始使用，是当时比较精密的历法。张衡和另一天文学家周兴坚决反对恢复古历。他们根据自己多年对天象的观测，对各种历法作了深入的研究、比较，认为四分历比较精密。在辩论中，他们所就观测到的现象以及这些现象产生的原因进行了深入的讲解，驳得梁丰等人张口结舌，“或不对，或言失误”，终于使四分历得以继续沿用。这是我国历法史上唯物主义对唯心主义斗争的一个胜利。

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http://www.njnews.cn/p/ca634840.htm

冥王星今“冲日”

(2005-06-14 10:10:17)
【南京日报报道】 （通讯员　马伟宏　记者　解悦） 记者昨日从省天文学会获悉：今天将发生冥王星冲日天象，冲日时冥王星亮度为13．8星等。据介绍，此次冥王星冲日需借助口径30厘米以上的专业天文望远镜观测。

太阳系九大行星中距离太阳最远、质量最小的要算冥王星了。冥王星的直径约为2400千米，比月球还小，亮度很弱，要想在夜空众多的星星中找到它，并非易事。省天文学会专家告诉记者，和所有外行星冲日一样，届时绕日公转的冥王星将运行到与地球、太阳大致成一直线的位置，那样，地球就位于太阳和冥王星之间了。冥王星冲日的前后数日内，是距离地球最近也是最亮的时候。太阳落山后，该星即从东方地平线上升起，几乎整夜可见，因此本月中旬是观测冥王星的最好时机。

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http://astro.qq.com/a/20050601/000001.htm

六月上演冥王星冲日
6月天空众星云集

　　本报记者 胡志斌 报道 刚刚在今天凌晨看过火星合月的您，如果还觉得不过瘾，那6月的北京星空就一定不要错过了。在这个刚刚进入夏季的月份里，遥远的冥王星将和地球的近邻水星、金星、木星一起伴着牧夫座的流星雨在北京初夏的夜空翩翩起舞，上演一幕幕让人心动的“星空大片”。

水、金 、土三星捧月

　　6月9日、10日金星于日落后出现在西北方低空，而这段时间里水星、土星也刚好出现在西北方低空，当月亮从它们附近缓缓经过的时候，在天空西北地平线附近北京市民就能够看到美丽的“众星捧月”现象。北京天文馆专家齐锐介绍，这种天文现象的学名叫做“行星拱月”，产生的条件则是需要地球、月亮与拱月的行星基本成一条直线才能看到。
　　小编补充：从占星的角度来看，月亮代表了一个人情绪、回忆还有母亲，如果水星、金星、土星同时落在月亮的附近，大家会觉得心情很愉快，同时也会注意审视自己以前一些行为，不会因为得意而忘形，同时伴随着六一儿童节的余温好好的感谢一下辛勤的妈妈吧，水、金 、土三星捧月是很不错相位哦。

　　冥王星要冲日

　　6月14日将会发生冥王星冲日现象，冲日前后亮度为13.8等。齐锐介绍，此次冥王星冲日必需借助口径30厘米以上的天文望远镜观测，仅凭肉眼是无法看到太阳系内离地球最远的冥王星的。齐锐告诉记者，行星冲日是外行星于绕日公转过程中运行到与地球、太阳大致成一直线，而地球恰好位于太阳和外行星之间的一种天文现象。冲日时外行星距离地球很近，太阳落山后，外行星即从东地平线上升出，几乎整夜可见，是观测外行星的最好时机。
　　小编补充：太阳无论从天文还是占星的角度来说，它都是一个绝对不可忽视的能量源，而冥王星外表虽然冰冷、荒芜，但是它却隐藏着一股非常神秘的强大力量，在占星学上如果这两颗行星遇到一起，那种力量是绝对不可以忽视的，而且是一种非常极端的力量，希望大家可以细细体会、好好把握它。

　　牧夫流星雨月底到极盛

　　6月26日到7月2日期间是牧夫座流星活跃期，极盛时为6月27日，辐射点的赤道坐标为赤经224°、赤纬＋46°。齐锐表示，由于此次牧夫座流星雨，前半夜辐射点较高，无月光干扰。流星雨达到极盛时的天顶流量为0?100，而且此次流星雨中亮流星所占比重较大，普通市民仅用肉眼就可以清楚地观测到。

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http://www.shc2000.com/0405/zuchongzh.htm

祖冲之对计量科学的贡献
关增建
（上海交通大学科学史与科学哲学系，上海 200030）
　
　　摘要：祖冲之是南北朝时期的著名科学家，对计量科学做出了很大贡献。他重视测量中的精度问题，重视对计量基准的搜集和保存。他对前代度量衡标准器的研究取得了引人注目的成绩。在时间计量方面，他对基本计时单位回归年、朔望月和时刻制度都做过探讨，他的探讨促进了传统历法的进步。对计量问题的关注是他在科学研究上取得重大成就的重要原因。他的个别工作也有欠严谨之处。
　　关键词：祖冲之 计量史 嘉量 栗氏量
　　〔中图分类号〕ＴＢ9.092 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1000-0763(2004)01-0000-07
ZU Chongzhi’s Contributions to Metrology Science
GUAN Zengjian
(Department for the History and Philosophy of Science, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200030)
Abstract：ZU Chongzhi is a famous scientist of the Northern and Southern Dynasties (420~589). He had made great contributions to metrology science then. He paid attention to the problem of precision of measurement and made great effort to collect and preserve the metrological standard apparatus. He gained remarkable achievements in the studying of the standard apparatus of weights and measures of former dynasties. In the field of time measurement, he explored basic time units such as tropical year, lunar month and the system of Shi (one of the 12 two-hour periods into which the day was formerly divided before the introduction of western chronology) and Ke (a time unit in ancient China which equals 14.4 minutes). His explorations advanced the development of Chinese traditional calendar. Paying special attention to metrological problems is an important factor for him to obtain fruitful results in his study of science. There were also some mistakes in his study of metrologies.
Key Words: ZU Chongzhi, history of metrology, standard apparatus
　
　　祖冲之（429－500）是我国南北朝时期的著名科学家，在中国科学史上享有崇高地位。在今天的人们看来，他推算出了高精度的圆周率，使之领先世界一千多年，是一位享誉世界的大数学家；他提出了《大明历》，内含多项创新，是一位杰出的天文学家；他成功复原了指南车，使古代绝技失而复得，是一位优秀的机械发明家；……。对祖冲之的这些评价，是完全正确的，但还不够全面，因为他为今人所称道的那些成就，主要是围绕着计量科学的发展而做出的。他首先是一位杰出的计量学家，对中国古代计量科学的发展做出了巨大贡献。与此同时，在他的计量科学工作中，也有个别不严谨之处。

一．对测量精度和尺度标准的重视
　　祖冲之一生的科学工作，大都与计量有关。他有着丰富的计量实践。在给宋孝武帝所上请求颁行《大明历》的表中，他曾经提到，在治历实践中，他常常“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”[1] ，自己动手进行测量和推算。测量离不开择定基准、核对尺度，测量本身不可避免还会涉及精度问题，这都与计量有关。对这些问题的重视，使他很自然地步入了计量领域。
　　精度问题是促进计量进步的重要因素，祖冲之对之十分重视。他曾经指出：“数各有分，分之为体，非细不密。”[2] 所谓“细”，即是指测量数据的精度要高，他认为，只有高精度的测量，才能使测量结果与实际密合。他不但在理论上高度重视精度问题，而且在实践中，也身体力行，努力追求尽可能高的测量精度。他自称在测量和处理各类数据时的指导思想是“深惜毫厘，以全求妙之准；不辞积累，以成永定之制。”（引文出处同注〔2〕）。他在测量实践中的“目尽毫厘”，在推算圆周率时精确到小数点后7位，就是其重视精度的具体表现。正是这种重视，使他在计量科学领域做出了令人景仰的成就。
　　在对计量基准的择定方面，祖冲之首先值得一提的工作是他对前代计量标准器的保存和传递。他的这一事迹与西晋荀勖考订音律的成果有关。
　　荀勖考订音律的事情发生在西晋初期。晋朝立国之后，在礼乐方面沿用的是曹魏时期杜夔所定的音律制度。但是，杜夔所定的音律并不准确，晋武帝泰始九年（公元273年），荀勖在考校音乐时，发现了这一问题，于是受武帝指派，做了考订音律的工作，制订了新的尺度。《晋书·律历志上》对此有简要记载：
　　起度之正，《汉志》言之详矣。武帝泰始九年,中书监荀勖校太乐，八音不和，始知后汉至魏，尺长于古四分有余。勖乃部著作郎刘恭依《周礼》制尺，所谓古尺也。依古尺更铸铜律吕，以调声韵。以尺量古器，与本铭尺寸无差。又，汲郡盗发六国时魏襄王冢，得古周时玉律及钟、磬，与新律声韵闇同。于时郡国或得汉时故钟，吹律命之皆应。
　　荀勖通过考订音律，制作了新的标准尺，并对之做了一系列的测试。测试结果表明，他的新尺符合古制，制作是成功的。
　　荀勖律尺的制作成功，在当时影响很大，著名学者裴頠就曾上言：既然荀勖新尺已经证明当时流行的尺度过大，就应该对度量衡制度加以改革，或至少对医用权衡进行改革：
　　荀勖之修律度也，检得古尺短世所用四分有余。頠上言：“宜改诸度量。若未能悉革，可先改太医权衡。此若差违，遂失神农、岐伯之正。药物轻重，分两乖互，所可伤夭，为害尤深。”卒不能用。[3]
　　裴頠的建议未被采纳，荀勖律尺就只能限于宫廷内部，考订音律时使用。
　　中国古代在制订度量衡制度时，有一个传统，就是首先要考订古制。荀勖律尺是经历三国时期度量衡混乱之后，人们用“科学”方法考订出来的第一个标准尺，因此深受后人重视，《晋书》把它放在“审度”栏目之下，紧接着“起度之正”加以叙述，就表明了这一点。从这个意义上说，荀勖律尺是后人制订度量衡制度的圭臬。而这样的圭臬，被祖冲之设法搜罗到并传递下去了。
　　祖冲之是如何保存并传递荀勖律尺的，我们一无所知。导致我们做出这一判断的，是唐代李淳风在考订历代尺度时，对“祖冲之所传铜尺”的记载：
　　祖冲之所传铜尺。
　　……梁武《钟律纬》云：“祖冲之所传铜尺，其铭曰：‘晋泰始十年,中书考古器，揆校今尺，长四分半。所校古法有七品：一曰姑洗玉律，二曰小吕玉律，三曰西京铜望臬，四曰金错望臬，五曰铜斛，六曰古钱，七曰建武铜尺。姑洗微强，西京望臬微弱，其余与此尺同。’铭八十二字。”此尺者，勖新尺也。今尺者，杜夔尺也。雷次宗、何胤之二人作《钟律图》，所载荀勖校量古尺文，与此铭同。而萧吉《乐谱》，谓为梁朝所考七品，谬也。今以此尺为本，以校诸代尺云。 [4]
　　引文中省略的部分是《晋书》对荀勖制订律尺过程的介绍。通过对祖冲之所传铜尺上的铭文的研读，李淳风断定它就是荀勖所发明的律尺，并以之为标准，对前代诸多尺度做了校核。就铭文而言，该尺是荀勖律尺，断无可疑，但该尺是否为祖冲之所传呢？李淳风的依据是梁武帝《钟律纬》的记载。梁朝上承南齐，祖冲之晚年是南齐重臣，他去世两年而梁武帝即位，所以梁武帝对他的记述应该是可靠的，该尺应该确实是祖冲之所传。
　　祖冲之能搜罗到荀勖律尺，殊为不易。因为荀勖律尺只是用来调音律，并未用于民间，不可能在社会上流传，一般人是难以觅其踪迹的。而在宫廷中保存，也同样难逃厄运。西晋末年，战乱大起，京城洛阳被石勒占领，晋朝皇室匆忙南迁，各种礼器，尽归石勒，以至于东晋立国之时，礼乐用器一无所有。这种状况，直到东晋末年，也未得到彻底改善。对此，《隋书·律历志上》记载道：
　　至泰始十年，光禄大夫荀勖，奏造新度，更铸律吕。元康中，勖子籓复嗣其事。未及成功，属永嘉之乱，中朝典章，咸没于石勒。及帝南迁，皇度草昧，礼容乐器，扫地皆尽。虽稍加采掇，而多所沦胥，终于恭、安，竟不能备。
　　在这种情况下，荀勖律尺的命运，也不会好到哪里去。而从西晋灭亡到祖冲之的时代，时间又过去了100多年，由此，祖冲之要搜寻到荀勖律尺，难度可想而知。但祖冲之最终还是找到了该尺，并把它传给了后人，这样，李淳风才能以之为据考订历代尺度。这件事情本身表明，祖冲之对尺度的标准器问题是非常重视的。

二．对新莽嘉量的研究
　　祖冲之不但注意搜集和保存前代的标准尺，而且还注重对前代度量衡标准器的研究。在祖冲之之前，中国历史上有两件标准量器最为著名，一件是战国时的栗氏量，一件是西汉末年的新莽嘉量，祖冲之对它们都做了研究，并取得了令人景仰的成就。本节我们先说祖冲之对新莽嘉量的研究。
　　新莽嘉量是刘歆设计制作的。祖冲之在探究新莽嘉量的过程中，求得了精确度高达小数点后7位的圆周率值，并以之为据，指出了刘歆设计的粗疏之处，从而把中国计量科学推进到了一个新的高度。
　　西汉末年，王莽秉政，为了满足其托古改制的政治需要，他委派以刘歆为首的一批音律学家，进行了一次大规模的度量衡制度改革。这次改革的成果之一是制作了一批度量衡标准器，新莽嘉量就是其中之一。新莽嘉量是一个五量合一的标准量器，其主体是斛量，另外还有斗、升、龠、合诸量。在嘉量的五个单位量器上，每一个都刻有铭文，详细记载了该量的形制、规格、容积以及与它量之换算关系，例如斛量上的铭文是：
　　律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。
　　此处冥同冪，表示面积。铭文反映了刘歆的设计思想。按照当时的规定（即《九章算术》所谓的粟米法），1斛等于10斗，容1620立方寸，因此，在深1尺的前提下，要确保斛的容积为1620立方寸，必须其内圆的截面积为162平方寸，即刘歆所谓之“冥百六十二寸”。也就是说，圆的面积是确定了的，需要解决的，是其直径的大小。当时，人们是用圆内接正方形来规定圆的大小的，即所谓“方尺而圆其外”，但在内接正方形边长为1尺的情况下，圆面积不足162平方寸，所以需要在其对角线两端加上一段距离，这段距离就叫“庣旁”，如下图所示。

　　根据刘歆的设计思想，嘉量斛的容积可以表示为：
　　1斛＝π( ／2＋庣旁)2×1＝1.62（尺3）
　　可见，在嘉量的设计过程中，圆周率π是一个举足轻重的因素，它决定了“庣旁”的大小，而“庣旁”则决定了斛的设计精度。刘歆最后得出的“庣旁”为9厘5毫，根据这一数字，可以倒推出他使用的π值是3.1547。考虑到当时通用的圆周率值是周三径一，刘歆的设计已经走在了时代的前面。
　　因为圆周率π在嘉量设计中具有举足轻重的作用，后人在研究刘歆的设计时，就不能不将注意力放在圆周率上。祖冲之即是如此。为了考证新莽嘉量的设计是否科学，祖冲之运用刘徽发明的割圆术，经过繁杂的运算，得到了3.1415926＜π＜3.1415927这样的结果，从而使得中国数学在圆周率推算方面，取得了远远领先于欧洲数学的成就。祖冲之为今人所景仰，主要也是出于他的这一数学发展史上里程碑式的成就。祖冲之对圆周率的研究，人们已经耳熟能详，这里不再赘述。
　　需要指出的是，祖冲之推算圆周率的目的，是为了考校刘歆的设计是否精确，也就是说，是着眼于计量科学的发展的。这是他在计量科学研究中所获得的数学成果。在他的时代，人们为纯数学而研究数学的思想并不强，当时人们研究圆周率，有两种传统，一种是为了解决天文学问题，一种是为了解决实际的计量问题。张衡、王蕃、皮延宗等代表的是前一种传统，而刘歆、刘徽、祖冲之等则代表了后一种传统。特别是祖冲之，他求得了精确的圆周率值以后，接着就用新的圆周率值，对刘歆的数据做了校验。这件事本身就表明了他推算精确的圆周率值的目的。
　　关于祖冲之对新莽嘉量的校验结果，《隋书·律历志上》有所记载：
　　其斛铭曰：“律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，冪百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”祖冲之以圆率考之，此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽，庣旁一分九毫有奇。刘歆庣旁少一厘四毫有奇，歆数术不精之所致也。
　　“其斛”，指的就是新莽嘉量。祖冲之以他推算的圆周率值来检验刘歆的设计，发现刘歆的“庣旁”不够精确，少了1厘4毫。祖冲之的推算结果可以从上述式子中得出，以祖率π＝3.1415926代入上式，则有
　　1斛＝3.1415926×( ／2＋庣旁)2×1＝1.62（尺3）
　　从这个式子中解出的庣旁值为0.01098933尺，即“一分九毫有奇”，将此值与刘歆的结果9厘5毫相比，刘歆的庣旁值确实少了“一厘四毫有奇”。所以，《隋书·律历志》的作者李淳风指出，之所以如此，是刘歆“数术不精之所致也”。这种“不精”，主要就表现在其圆周率值不够精确。在祖冲之之前，刘徽曾以他推算出的π＝3.14的圆周率值计算过嘉量斛的直径，但他未提及庣旁，而且计算精度也不及祖冲之。祖冲之是历史上第一个明确指出刘歆庣旁的误差的人。
　　应该指出，1厘4毫的差距，确实很小。当时的测量精度，很难达到毫的量级。正因为如此，这一结果的取得，是计量科学得到充分发展的标志。高精度圆周率值的发现，是当时计量科学发展在数学科学领域取得的重大成果。

三．对栗氏量的探讨
　　相比于对新莽嘉量的研究，祖冲之对栗氏量的探讨别具一格。关于栗氏量的原始记载见于文献《考工记·栗氏为量》条，原文为：
　　栗氏为量，……鬴深尺，内方尺而圆其外，其实一鬴；其臀一寸，其实一豆；其耳三寸，其实一升。重一钧。其声中黄钟。
　　引文中提到的鬴、豆、升是三种容量单位。栗氏量在提供这些单位的实物大小的同时，还规定了其相应尺寸，这就使得人们有可能通过这些尺寸，推算出其具体容积来。汉代郑玄就做过这种推算，他说：“四升曰豆，四豆曰区，四区曰鬴，鬴六斗四升也。鬴十则钟。方尺积千寸。于今粟米法少二升八十一分升之二十二。”[5]郑玄推出1鬴等于6斗4升，依据的是《左传》的记载：“齐旧四量，豆区釜钟，四升为豆，各自其四，以登于釜，釜十则钟。[6]” 这里“釜”同“鬴”，是同量异名[7]。《左传》给出的这几种单位的换算关系是：
　　1钟＝10鬴； 1鬴＝4区； 1区＝4豆； 1豆＝4升
　　如果栗氏量遵循《左传》中所言的进位制，则其1鬴应等于64升，即6斗4升。接下去，郑玄按照鬴的容积为1立方尺进行计算，得出1鬴等于1000立方寸的结论，认为它比按照《九章算术》“粟米法”的运算结果少了2又81分之22升。
　　郑玄的推算给人们提出了一个严峻的话题：栗氏量的单位量制比汉代的要小。在谈论量器的容积时，中国古代有一个优良传统，叫做“用度数审其容”[8]，即用长度单位规定出量器单位的大小来。当时斗的单位量制是1斗等于162立方寸。从战国时遗留至今的商鞅方升上的铭文“积十六尊（寸）五分尊（寸）壹为升”，到《九章算术》的“粟米法”，再到新莽嘉量斛铭上的“积千六百二十寸”，都昭示着这样的单位量制。该量制是当时人们的共识，并被公认为它就是所谓的古周制。而按照郑玄的推算，6.4斗合1000立方寸，即栗氏量的1斗合156.25立方寸。这与公认的斗的量制显然是不同的。我们知道，刘歆制作嘉量时，模仿的是栗氏量的结构和形制，正如励乃骥先生所言，“刘歆作量，仿乎周制，故其铭辞，多引《周礼》，如‘嘉量’、‘方尺而圆其外’，‘深尺’等语，即引《考工记》之文。[9]” 嘉量斗的量制是1斗等于162立方寸，刘歆嘉量以栗氏量为蓝本，郑玄推算的同样也是栗氏量，他们得出的单位量制居然不同，这是说不过去的。
　　实际上，郑玄在这里犯了两个错误。一个是他误解了栗氏量的形制。《考工记》中说的“内方尺而圆其外”，不是说栗氏量的形状内方外圆，而是说该量器口径正好容纳下一个边长为1尺的正方形。即是说，鬴的形状是圆桶形的。郑玄把它当成一个边长为1尺的正方体容器去计算，焉能不出错。
　　郑玄的第二个错误是：他还误解了栗氏量的单位进制。按照郑玄的解释，栗氏量1鬴等于6斗4升，而刘歆的嘉量则1斛等于10斗，这样，二者又出现了矛盾。在这里，郑玄依据的是《左传》的记载，而实际上，《左传》中说的是“齐旧四量”，它是否适用于栗氏量，尚需再加考证。关于栗氏量的单位进制问题，陈梦家提出了一种新的解释，他说：“《考工记》之嘉量，其主体之鬴，深、径各一尺，鬴下圈足内（即谓臀）深一寸，径仍一尺，则豆为鬴十分之一。如此，豆、升皆为十进制。” 陈梦家的“径一尺”的说法，不够准确，但他提出的鬴、豆、升各为十进制的见解，则不无道理，丘光明等对陈梦家的观点评价道：“这种看法是很有见地的。齐国四进制的‘公量’，最早见于春秋，时至战国，逐渐被田齐家量所取代，并且已证明多用升、斗、釜十进制。《考工记》成书于战国后期，不会再用四进之豆、区制。而栗氏量中之豆，实当为斗。[10]” 换句话说，栗氏量中的鬴容10斗，与后世的斛是一样的。
　　在历史上，郑玄的这两个错误，在祖冲之那里得到了明确的纠正。《隋书·律历志上》记载说，对栗氏量，
祖冲之以算术考之，积凡一千五百六十二寸半。方尺而圆其外，减傍一厘八毫，共径一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇而深尺，即古斛之制也。
　　祖冲之的算法可用公式表述如下：
　　1鬴＝π(14.10472／2)2×10＝1562.5（寸3）
　　这一算法，只对圆柱体成立，因此，它纠正了郑玄的第一个错误。引文中的“即古斛之制也”，更明确指出这是容十斗之“古斛”，这样，它又纠正了郑玄的第二个错误。
　　需要指出的是，祖冲之的上述推算也有瑕疵。他在推算鬴的直径时，采用了“减傍一厘八毫”的做法，这种做法依据不足。栗氏量明确规定其口径为“内方尺”，即恰能容下一个边长为1尺的正方形，原文并没有提到“傍”的存在。“庣旁”是刘歆设计嘉量时的发明，刘歆之前不存在类似的概念。祖冲之的“减傍”，于理于原文皆无所据。
　　实际上，在祖冲之之前，刘徽在研究栗氏量时，已经引入了“庣旁”的概念，他在检验栗氏量的数字关系时提出：
　　以数相乘之，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗。 [11]
　　根据刘徽给出的数字关系，可以看出他是按下述式子进行运算的：
　　1斛＝π( ／2－0.017)2×10≈1562.5（寸3）
　　与刘歆设计新莽嘉量不同的是，刘徽把“庣旁”由正变成了负。祖冲之继承了刘徽的做法，只不过他的圆周率值比刘徽的π＝3.14要稍微大一点，所以他把“庣旁”也做了相应增加，由1厘7毫变成了1厘8毫。至于刘徽祖冲之为什么要对栗氏量引入“庣旁”概念，我们不得而知，也许这是他们为了得到与郑玄的1斗合156.25立方寸相同的结果而采取的凑数措施。实际上，在当时，1斛等于1620立方寸的所谓的古周制已深入人心，郑玄的推算于史无据，前提是错的，他们没必要去迎合郑玄的单位进制。
　　祖冲之的推算还有另外一个疏忽。按“正方尺而圆其外”再“减傍一厘八毫”的方式进行计算，得到的结果应该是“径一尺四寸一分六毫一秒三忽有奇”，而不是“一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇”。运算过程如下式所示：
　　斛径＝ －2×0.0018＝1.4106135（尺）
　　要得到祖冲之所说的“径一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇”的结果，应该“减傍一厘八毫七秒有奇”，[12]而不是“减傍一厘八毫”。所以，这是祖冲之在数字表示上的疏忽。祖冲之之所以会出现这样的疏忽，大概是因为古人不具备现代的有效数字概念，记数时不运用四舍五入法则，而他在对“庣旁”的表示上又只取了两位有效数字的缘故。但无论如何，这种疏忽的出现都是不应该的：他既然在推算栗氏量的直径时，可以精确到7位有效数字；在指出刘歆“庣旁”的精度时，不忘在“毫”之后加上“有奇”二字，那么，在为栗氏量设计“庣旁”时，他为什么就不肯在“毫”之后多记上一两位有效数字，从而使一组数据之间的精度大致保持一致呢？

四．对时间和空间计量的贡献
　　祖冲之在时间计量方面也做了大量工作。
　　在对基本时间单位回归年长度的测定方面，祖冲之改进了传统的测定方法，从而使新的历法在回归年长度上更为准确。过去人们测定回归年长度，通常是在预期的冬至前后几天，用立竿测影的方法，测出影子最长的那一天作为冬至，相邻两个冬至之间的时间长度，就是一个回归年。这种方法在理论和实践上都存在一些问题，而且还容易受到冬至前后气候变化影响，有一定误差。祖冲之对之做了巧妙的改革，提出了一种具有比较严格的数学意义的测定冬至时刻的方法：他选择冬至前若干天和冬至后若干天分别测量正午时分的影长，通过比较影长变化，运用对称原理推算出冬至的准确时刻。他的方法是对传统回归年测定方法的重大突破，有很高的理论意义和实用价值。他运用这一方法，测得了更为精确的回归年数值，并将其写进了自己编制的《大明历》中。按《大明历》的数据，他测得的回归年长度是365.2428日。这个数值要过700多年才被后人所突破。 [13]
　　另外，祖冲之还对闰周做了修改。我国古代历法是阴阳历，需要通过安置闰月来调整朔望月和回归年之间的关系。传统上人们采用19年7闰的方法来解决这一问题，但这一闰周比较粗疏，大约200多年就要多出一天，祖冲之经过反复测算，提出每391年中置144个闰月的主张。他的这一主张跟现代测量值比较只差万分之六日，即一年只相差52秒，这是相当精密的。
　　由于回归年日数和闰周数据都比较精密，祖冲之《大明历》在另一自然时间单位——朔望月长度的推定方面，也取得了非常好的结果。他的朔望月长度为29.5305915日，与今测值相比误差仅为0.00000560日，每月仅长0.5秒。祖冲之以后，直到宋代《明天历》、《奉元历》、《纪元历》等历法中，才有更好的朔望月数据出现。 [14]
　　除了对回归年、朔望月这两个时间单位进行改革，祖冲之还对古代另一个重要计时单位——刻及计时仪器漏刻做了探究，其探究成果表现在他和儿子祖暅之合著的著作《漏经》一书中。《南史·沈洙传》曾提到《漏经》这本书：
　　洙曰：夜中测立，缓急易欺，兼用昼漏，于事为允。但漏刻赊促，今古不同。《汉书·律历》、何承天、祖冲之祖暅之父子《漏经》，并自关鼓至下鼓、自晡鼓至关鼓，皆十三刻，冬夏四时不异。若其日有长短，分在中时前后。
　　《漏经》一书已经失传，其具体内容我们不得而知。从沈洙的引述中可知，该书至少探讨了时刻制度安排问题，而且其探讨被当时人作为讨论时刻制度的依据而加以引用，这是没有疑义的。
　　在空间方位计量方面，祖冲之也颇有可称道之处：他成功地研制出了指南车，为中国计量史留下了一段佳话。刘宋王朝的奠基人是后来被追封为武帝的刘裕，刘裕当年平定关中后秦政权时，得到了后秦政权的一辆指南车，该车虽然具有指南车的形状，但设计却不够精巧，以至于每当车子随仪仗队出行时，就得有一个人藏在车内，依靠人的转动使车上木人的手臂指向南方。祖冲之对该车早有所知，多次提出应该对之加以改造。后来，萧道成把持刘宋王朝朝政，把改造这部车子的任务交给了祖冲之。祖冲之经过精心推敲和反复测试，成功地设计和安装了其内部机械装置，使得该车“圆转不穷而司方如一”，具备了自动指南的功能。当时，北方有个叫索驭驎的，号称自己也能造指南车，萧道成就让他和祖冲之各造一辆，公开比试，比试的结果，祖冲之的得到了大家的一致认可，而索驭驎所造则“颇有差僻，乃毁焚之。” [15]
　　祖冲之还有其他一些工作，也与计量科学的发展有很大关系，限于篇幅，这里不再多说。总而言之，祖冲之对古代中国计量科学的发展做出了很大贡献，对计量问题的关注，也促成了他在数学等其他相关学科的成就，这是没有疑义的。
　
　
[1]〔梁〕萧子显：南齐书·祖冲之传〔M〕.
[2]〔梁〕沈约：宋书·历志下〔M〕.
[3]〔唐〕房玄龄等：晋书·裴頠传〔M〕.
[4]〔唐〕李淳风：隋书·律历志上〔M〕.
[5]《考工记·栗氏为量》条之郑玄注，见《十三经注疏·周礼注疏卷四十》〔M〕，北京：中华书局，1979年版.
[6]〔战国〕左传·昭公三年〔M〕.
[7]吴承洛：中国度量衡史〔M〕. 上海：上海书店，1984年印刷，100页.
[8]〔汉〕班固：汉书·律历志上〔M〕.
[9]励乃骥：释庣〔A〕，载河南省计量局：中国古代度量衡论文集〔C〕，郑州：中州古籍出版社，1990年版，52页.
[10]丘光明，邱隆，杨平：中国科学技术史·度量衡卷〔M〕，北京：科学出版社，2001年版，221页.
[11]〔魏〕刘徽：九章算术注·卷五·商功〔M〕.
[12]李俨在“减傍一厘八毫”后补上了“七秒”二字，并说“原无此二字”，但未进一步深究。见邹大海：李俨与中国古代圆周率〔J〕·中国科技史料，2001年第2期.
[13]中国天文学史整理研究小组：中国天文学史〔M〕，北京：科学出版社，1987年第2次印刷，89?91页.
[14]杜石然：祖冲之〔A〕. 载杜石然等：中国古代科学家传记（上）〔C〕，北京：科学出版社，1997年第2次印刷，221?234页.
[15]〔唐〕李延寿：南史·祖冲之传〔M〕.
　
　
2004年5月23日加入