[原創]等光速原理的逻辑推导

[谷洪]

[watermark]《谷子易理解释学》
上篇：大小反思录
二、等光速原理的逻辑推导
谷洪
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自从有了数，特别是有了乘除法以后，所谓的绝对大小中的表示0的大小与其它大小的矛盾也就随之产生。本文以速度的大小为例，通过解决0与其它大小的“当我们所要研究的对象的大小为0时，不论我们用来确定研究对象的大小的数值所使用的单位的大小是多少，我们所要研究的对象的大小的数值都是0；而当我们所要研究的对象为其它的大小时，我们用来确定研究对象的大小的数值所使用的单位的大小不同，我们所能得到的研究对象的大小的数值也就不同”的这个数的矛盾，在速度大小中的0速度的大小与其它速度的大小中的表现，来推导论证出相对论中等光速原理的逻辑意义，从而将等光速原理纳入人类的理性的理解，而不再是一个假设的前提。从而使等光速原理所表达的理念，作为数的性质的一部分，成为一种普适的理念，适用于我们所要研究的任何对象。
在牛顿力学中，我们可以用 来表示任意一个速度 的大小，即 。
绝对速度的大小，是假定在理想状态下，某一观测者，以自己所在的参照物的状态为0，通过观测某一相对于自己所在的参照物作匀速直线运动的物体，在运动过程中，所经过的与参照物没有作相对运动的直尺、钟表上的刻度，并假定直尺、钟表的刻度不随所观测的物体速度的大小的不同而变化（在相对论中实际上是变化的），计算这个运动物体所经过的 与 的比值 而得到的。观测者所使用的直尺、钟表所表示的位移、时间的单位的大小，是观测者人为地随意规定的，例如，观测者既可以用1千米来表示位移的一个单位的大小，也可以用1米来表示位移的一个单位的大小；既可以用1小时来表示时间的一个单位的大小，也可以用1秒来表示时间的一个单位的大小。所以，由位移与时间的单位的大小组成的物体运动速度的单位的大小，也是可以由观测者人为地随意规定的。
在牛顿力学中，假定观测者所在的参照物的运动状态不变，除了这名观测者所在参照物的0速度以外，对于同一物体的同一匀速直线运动，这名观测者以不同的单位大小进行观测，所观测计算出来的这个物体运动速度的大小的数值也就不同，反之，这名观测者若以不同的单位的大小观测到了速度的大小为同一数值的物体的运动，则所观测到的必定不会是同一物体或不同物体的同一运动，观测者用了多少个不同的单位的大小，就会观测到多少个同一或不同物体的不同的运动；所以，如果这名观测者观测到了多于一个的许多物体以同一数值大小的速度相对于自己所在的参照物运动，那么，或者是这些物体以相同的单位的大小、相同的速度的大小在做相对于自己所在参照物的不同物体的相同的运动，或者是这些物体以不同的单位的大小、相同的速度的大小在做相对于自己所在参照物的不同物体的不同运动；所以，不同物体的同一运动的速度相同，观测者用来观测这些物体运动的单位的大小也相同；不同物体的不同运动，如果观测者观测它们速度大小的数值相同，则观测者观测每个物体的运动时所使用的单位的大小则必定不会相同。
以上的说法只是我们在观测者所在的参照物的运动状态不变的情况下的习惯性的表述，当观测者所在参照物的运动状态可以改变，即观测者可以在不同的运动状态下的参照物上观测物体的运动时，上述结论就不一定成立了。当观测者所在参照物的运动状态可以改变，即观测者可以在不同的运动状态下的参照物上观测物体的运动时，不同物体的不同运动，如果观测者观测它们速度大小的数值相同，则观测者观测每个物体的运动时所使用的单位的大小，既有不相同的可能，也有相同的可能。为了使“不同物体的不同运动，如果观测者观测它们速度大小的数值相同，则观测者观测每个物体的运动时所使用的单位的大小则必定不会相同”这个结论，在观测者可以在不同的运动状态下的参照物上观测物体的运动时同时成立，我们引入一个表示运动物体与任意一个参照物的绝对速度大小的概念，用“观测者用相同的单位的大小测得的、速度大小的数值相同的物体的运动”替代“ 同一物体或不同物体的相同运动”这个概念，而用 “观测者用相同的单位的大小测得的、速度大小的数值不相同的物体的运动”替代“不同物体的不同运动”这个概念。这样称谓虽然麻烦一些，意义涵盖的范围却更大，不仅观测者所在的参照物的运动状态不变的情况下上述结论可以成立，而且在观测者所在的参照物的运动状态发生了改变的情况下，上述结论也同样适用，不致于引起误会。这样，我们前面所说的“不同物体的不同运动，如果观测者观测它们的速度的大小的数值相同，则观测者观测每个物体的运动时所使用的单位的大小则必定不会相同”，就可以重新表述为：观测者用相同的单位的大小测得的、速度大小的数值不相同的物体的运动，如果观测者观测到它们的速度的大小的数值相同，则观测者观测每个物体的运动时所使用的单位的大小则必定不会相同。
在牛顿力学中，由于不论这名观测者以多大的单位的大小观测自己所在的参照物，观测者所在参照物的速度永远为0，观测者所在参照物的0速度乍看之下似乎不具有上述性质，形成了0速度的大小与其它速度的大小的矛盾。其实，观测者所在参照物的0速度也具有上述的性质：通过上面一段的分析可以看出，对于观测者来说，由于参照物的速度的大小相同，永远都是0，所以，只要我们能够使得观测者所观测到的不同参照物的0速度为不同物体之间的不同的运动，即观测者用相同的单位的大小测得的、速度大小的数值不相同的物体的运动，所谓0速度与其它大小的速度之间的这个矛盾也就迎刃而解了。其实这一点并不难做到，这个矛盾在伽利略－牛顿运动学中几乎已经解决了，因为他们已经意识到并且在实践中证明了：物体运动速度的观测者，可以在以任意大小的速度作匀速直线运动的物体上，并以自己所在的物体为参照物，观测物体运动速度的大小；不论观测者所在参照物的速度的大小是多少，运动的状态如何，观测者观测自己所在参照物的速度的大小永远是0；观测者所在的各个参照物之间的运动的状态不同，各个参照物之间的关系显然是不同物体的不同的运动，也就是观测者用相同的单位的大小测得的、速度大小的数值不相同的物体的运动；所以，观测者所在参照物的运动的状态不同，观测自己所在参照物的0速度所使用的单位的大小显然也就必定不会相同。可惜伽利略与牛顿未能意识到这一点，而规定不论观测者所在参照物的运动的状态如合，观测者所使用的观测物体运动速度的单位的大小相同，从而走上了错误的道路，产生了参照物的0速度的大小与其它速度的大小之间的矛盾，功亏一篑。
这样，速度0的大小与其它大小的速度一样，也具有了“观测者用相同的单位的大小测得的、速度大小的数值不相同的物体的运动，如果观测者观测到它们的速度的大小的数值相同，则观测者观测每个物体的运动时所使用的单位的大小则必定不会相同”的性质。虽然在这一点上，我们终于把0速度的大小与其它速度的大小从逻辑上统一了起来，但我们在观测者所在的参照物的运动状态发生了变化的情况下，观测0速度时所使用的单位的大小的不同，与在观测者所在的参照物的运动的状态不变的情况下，观测其它大小的速度时所使用的单位大小的不同，还是有着质的区别的。观测者用来观测物体运动速度的单位的大小的变化，我们可以归结为两种情况：一种是我们前面说过的是由观测者主观人为地随意规定的变化，我们前面所说的“除0速度以外，不同物体的不同运动，如果观测者观测它们速度大小的数值相同，则观测者观测每个运动物体时所使用的单位的大小则必定不会相同”，就是指的这种由观测者主观人为地随意规定的变化，是在观测者所在参照物的运动状态不变的前提下，观测者在观测除0速度以外的其它大小的速度时，由观测者主观人为地随意规定的变化；另一种是观测者所用来观测物体运动速度大小的单位的大小本身产生了客观的变化，不是观测者自己主观规定的，观测者自身并不一定能意识到这种变化。如果参照物的运动的状态不变，有些外界因素也可以使其产生这种变化，例如，我们观测物体运动所经过的位移时，所用的直尺因热胀冷缩变长了或变短了，观测物体运动所经过的时间时，所用的钟表走得快了或慢了等等，都能使观测者用来观测物体运动大小的单位的大小本身产生客观的变化，但在排除了外界干扰的理想状态下，则不会产生这种变化。在理想状态下，只有参照物的运动状态的改变，才会使观测者用来观测物体运动速度的大小的单位的大小本身产生这种客观的变化。产生这种变化的原因，就是既能使观测者所在参照物的运动状态产生变化，从而可以形成多个参照物之间的相互运动，又能使观测者观测自己所在参照物的运动状态永远是0速度，从而使0速度的大小与其它速度的大小具有相同的性质。不论是观测者主观人为地随意规定的单位大小的变化，还是观测者用来观测物体运动的速度的单位大小本身产生了客观的变化，产生的效果都是可以使观测者用不同的单位的大小、观测到观测者用相同的单位的大小测得的、速度大小的数值不相同的物体的运动的速度的大小的数值相同。
令某甲以 的单位的大小测得自己所在参照物的速度为0，某乙以 的单位的大小测得自己所在参照物的速度为0， 。显然，如果某甲仍以 的单位的大小观测某乙所在参照物的速度的大小，某乙仍以 的单位的大小观测某甲所在的参照物的速度的大小，我们知道，某乙相对于某甲所在参照物的绝对速度与某甲对某乙所在参照物的绝对速度的大小相等，方向相反，但由于 ，所以某甲测得的某乙所在参照物的速度的绝对值的大小要小于某乙测得的某甲所在的参照物的速度的绝对值的大小，违背了相对性的原理。只有某甲观测某乙所在参照物的速度的大小时所使用的单位的大小与某乙观测某甲所在的参照物的速度的大小时所使用的单位的大小相等，某甲观测某乙所在的参照物相对于自己的速度与某乙观测某甲所在的参照物相对于自己的速度，才会大小相等，方向相反。若要实现某甲观测某乙所在参照物的速度的大小时，所使用的单位的大小与某乙观测某甲所在的参照物的速度的大小时所使用的单位的大小相等，只能是无论某甲还是某乙，在观测除自己所在的参照物的0速度的其它速度的大小时，所使用的单位的大小随着所观测到的物体运动速度的大小的不同而不断地变化。我们可以假定一：物体运动速度的观测者在观测物体的运动时，随着物体相对于观测者所在的参照物运动速度的大小不同，观测者观测这个物体运动时所使用的单位的大小也就不同，观测者所使用的单位的大小随观测者观测到的物体运动速度大小的均匀变化而均匀地变化。
为了便于我们比较、对照地分析观测者所使用的单位大小的变化情况，我们假想一个所有物体运动速度的大小都是以1千米/秒为一个单位的大小组成的这样一个观测物体运动速度的大小所使用的单位不随所物体运动速度的大小的变化而变化的绝对大小的系统，当然，这个系统只是为了便于我们比较、对照地分析观测者所使用的各个不同的单位的大小之间的关系，这个系统本身是不存在。假定某甲所在的参照物在这个系统中的相对速度的大小为 ，某乙所在的参照物在这个系统中的相对速度的大小为 ，某丙所在的运动物体在这个系统中的相对速度的大小为 ，某甲观测某丙所在的运动物体的速度的大小为 ，某乙观测某丙所在的运动物体的速度的大小为 ，某甲观测某乙所在参照物的速度的大小为 ，因此，某乙观测某甲所在参照物的速度的大小为 ，显然，由于某甲与某乙观测某丙所在的运动物体的速度的大小所使用的单位的大小不同，并且均匀地变化，必然会有某一某丙所在的运动物体的 值，使得此时某甲观测到的某丙所在的运动物体的速度的大小 ，等于某乙观测到的某丙所在的运动物体的速度的大小 ，令此时 ，如图1。
对于某甲来说，由于其所观测到的运动物体在这个系统中的运动速度的大小为 时，他所观测到的这个物体的运动速度的大小也是 ，所以，他观测这个物体的运动速度的大小时所使用的单位的大小为 ；由于他所使用的单位的大小 随着运动物体在这个系统中的运动速度的大小 的均匀变化而均匀地变化，所以，我们可以假定其变化的规律为 ，这样，我们就可以得到方程（1）
……（1）
同理，我们也可以假定某乙观测物体运动所使用的单位的大小的变化规律为 ，并得到方程（2）
……（2）
在方程（1）中，当 时，得到方程（3）
……（3）
解由方程（1）、方程（2）、方程（3）组成的方程组，消去 得到方程（4）
……（4）
这就是狭义相对论中的所谓的速度相加原理。从这个公式中可以看出，不仅 时 ，而且 时， 也同时成立。
那么，某丙观测某甲或某乙所在参照物的运动时的规律如何，当某甲或某乙所在的参照物运动速度的大小在这个系统中为 或 时，某丙观测它们的速度的大小又是多少呢？
按照图1，根椐相对性原理，某丙观测某甲所在参照物相对于自己所在参照物的速度的大小为 ，某乙所在的参照物相对于自己所在参照物的相对速度的大小为 。由方程（4）
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